《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

三、解答题
10. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + (2a + 1)x + 2(a ＜ 0) $。
(1) 求证：二次函数的图像与 $ x $ 轴有两个交点；
(2) 当二次函数的图像与 $ x $ 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 $ a $ 为负整数时，求 $ a $ 的值及二次函数的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像。[不用列表，只要求用其与 $ x $ 轴的两个交点 $ A,B $（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），与 $ y $ 轴的交点 $ C $ 及其顶点 $ D $ 这四点画出二次函数的大致图像，同时标出点 $ A,B,C,D $ 的位置]

答案：
10.
(1) 证明：$\because y=ax^{2}+(2a+1)x+2=(x+2)(ax+1)$，且$a＜0$，$\therefore$抛物线与$x$轴的交点坐标为$(-2,0)$，$(-\frac{1}{a},0)$，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点。
(2) 解：$\because$二次函数的图像与$x$轴的两个交点的横坐标均为整数，且$a$为负整数，$\therefore a=-1$，$A(-2,0)$，$B(1,0)$，$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^{2}-x+2=-(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{9}{4}$，$\therefore$顶点$D$的坐标为$(-\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
当$x=0$时，$y=2$，即点$C$的坐标为$(0,2)$。
函数的图像如答图所示。

11. (2023·无锡)某景区旅游商店以每千克 20 元的价格采购一款旅游食品，加工后出售，销售价格不低于每千克 22 元，不高于每千克 45 元。经市场调查发现每天的销售量 $ y $（千克）与销售价格 $ x $（元/千克）之间的函数关系如图所示。
(1) 求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式；
(2) 当销售价格定为每千克多少元时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少元？[销售利润 $ = $（销售价格一采购价格）$ × $ 销售量]

答案： 11. 解：
(1) 当$22≤ x≤30$时，设图像的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(22,48)$，$(30,40)$代入，得$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$
$\therefore$此时图像的函数表达式为$y=-x+70$。
当$30＜x≤45$时，设图像的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$，将$(30,40)$，$(45,10)$代入，得$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-2,\=100,\end{cases}$
$\therefore$此时图像的函数表达式为$y=-2x+100$。
综上，$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤30),\\-2x+100(30＜x≤45).\end{cases}$
(2) 设每天的销售利润为$w$元。
当$22≤ x≤30$时，$w=(x-20)(-x+70)=-x^{2}+90x-1400=-(x-45)^{2}+625$，
$\because$在$22≤ x≤30$范围内，$w$随着$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=30$时，$w$取得最大值，为$400$；
当$30＜x≤45$时，$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^{2}+140x-2000=-2(x-35)^{2}+450$，
当$x=35$时，$w$取得最大值，为$450$。
$\because450＞400$，$\therefore$当销售价格定为$35$元/千克时，每天获得的销售利润最大，为$450$元。

12. (2024·姑苏区一模)如图，二次函数的图像分别交 $ x $ 轴于点 $ A(-1,0) $，$ B(m,0) $，交 $ y $ 轴于点 $ C(0,m)(m ＞ 1) $，连接 $ AC,BC $，点 $ D $ 为 $ △ ABC $ 的外心，连接 $ AD,BD,CD $。
(1) 这条抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+(m-1)x+m$；(用含 $ m $ 的式子表示)
(2) 若 $ △ CDB $ 的面积为 $ \dfrac{\sqrt{5}}{2} $，求 $ m $ 的值。

答案：
12.
(1) $y=-x^{2}+(m-1)x+m$
(2) 解：连接$OD$并延长交$BC$于点$E$，过点$D$作$DH⊥ OB$于点$H$，如答图。

$\because B(m,0)$，$C(0,m)$，
$\therefore OB=OC=m$，$△ BOC$是等腰直角三角形，
$\therefore$点$O$在线段$BC$的垂直平分线上。
$\because$点$D$为$△ ABC$的外心，$\therefore BD=CD$，
$\therefore$点$D$在线段$BC$的垂直平分线上，
$\therefore$直线$OE$是线段$BC$的垂直平分线，$\therefore BE=CE$，$OE⊥ BC$，点$B$，$C$关于直线$OE$对称，$\therefore△ BOE$，$△ ODH$是等腰直角三角形，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，
$\therefore OH=DH$，$\therefore$点$D$的横坐标与纵坐标相等，
$\therefore$直线$OE$的函数表达式为$y=x$。
$\because$点$D$为$△ ABC$的外心，$\therefore AD=BD$，$\therefore H$是$AB$的中点，$\because A(-1,0)$，$B(m,0)$，$\therefore H(\frac{m-1}{2},0)$，即$OH=\frac{m-1}{2}$，$\therefore D(\frac{m-1}{2},\frac{m-1}{2})$。$\because S_{△ BDE}=S_{△ BOE}-S_{△ BOD}=\frac{1}{2}S_{△ BOC}-S_{△ BOD}$，$\therefore\frac{\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}m·\frac{m-1}{2}$，解得$m=\sqrt{5}$。