《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

5. (2023·靖江月考)已知抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ (-3, 0) $ 和 $ (1, 0) $，且与 $ y $ 轴交于点 $ (0, 3) $，求这个抛物线的函数表达式.

答案： 5. 解: 设抛物线的函数表达式为$y=a(x+3)(x-1),$
把$(0,3)$代入, 得$-3a=3$, 解得$a=-1.$
所以抛物线的函数表达式为$y=-(x+3)(x-1)=-x^{2}-2x+3.$

6. 若抛物线的最高点的纵坐标是 $ \dfrac{25}{4} $，且过点 $ (-1, 0) $，$ (4, 0) $，求这个抛物线的函数表达式.

答案： 6. 解:
∵抛物线与 x 轴交于点$(-1,0),(4,0),$
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac {3}{2},$
∴顶点坐标为$(\frac {3}{2},\frac {25}{4}).$
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+1)(x-4),$
把$(\frac {3}{2},\frac {25}{4})$代入, 得$a(\frac {3}{2}+1)(\frac {3}{2}-4)=\frac {25}{4},$
解得$a=-1,$
∴抛物线的函数表达式为$y=-(x+1)(x-4),$
即$y=-x^{2}+3x+4.$

7. (2024·张家港月考)把抛物线 $ y = \dfrac{1}{2}x^{2} + 3x + \dfrac{5}{2} $ 向右平移 $ 2 $ 个单位长度，再向上平移 $ 3 $ 个单位长度，求经过平移后抛物线的函数表达式.

答案： 7. 解:$y=\frac {1}{2}x^{2}+3x+\frac {5}{2}=\frac {1}{2}(x+3)^{2}-2.$
把抛物线$y=\frac {1}{2}(x+3)^{2}-2$向右平移 2 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度后, 得到的抛物线的函数表达式为$y=\frac {1}{2}(x+3-2)^{2}-2+3=\frac {1}{2}(x+1)^{2}+1.$

8. 已知抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + 1 $.
(1) 求它关于 $ x $ 轴对称的抛物线的函数表达式；
(2) 求它关于 $ y $ 轴对称的抛物线的函数表达式；
(3) 求它关于原点对称的抛物线的函数表达式；
(4) 求将它绕着与 $ y $ 轴的交点旋转 $ 180^{\circ} $ 所得抛物线的函数表达式.

答案： 8. 解:$y=2x^{2}-4x+1=2(x-1)^{2}-1$, 抛物线的顶点坐标为$(1,-1),$
(1) 点$(1,-1)$关于 x 轴对称的点的坐标为$(1,1)$, 所以原抛物线关于 x 轴对称的抛物线的函数表达式为$y=-2(x-1)^{2}+1.$
(2) 点$(1,-1)$关于 y 轴对称的点的坐标为$(-1,-1)$, 所以原抛物线关于 y 轴对称的抛物线的函数表达式为$y=2(x+1)^{2}-1.$
(3) 点$(1,-1)$关于原点对称的点的坐标为$(-1,1)$, 所以原抛物线关于原点对称的抛物线的函数表达式为$y=-2(x+1)^{2}+1.$
(4) 抛物线$y=2x^{2}-4x+1$与 y 轴的交点坐标为$(0,1),$点$(1,-1)$关于点$(0,1)$对称的点的坐标为$(-1,3)$, 所以原抛物线绕着与 y 轴的交点旋转$180^{\circ }$所得的抛物线的函数表达式为$y=-2(x+1)^{2}+3.$