《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

8. (2024·姑苏区期末)如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC = 5 $，$ BC = 6 $，$ D $ 为 $ BC $ 的中点，$ DE ⊥ AB $ 于点 $ E $，则 $ \cos ∠ BDE $ 的值等于(A)

A.$ \frac{4}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{5}{6} $

答案： 8. A

9. 如图，四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ B = 90^{\circ} $，$ AB = 2 $，$ CD = 8 $，$ AC ⊥ CD $，$ \sin ∠ ACB = \frac{1}{3} $，则 $ \tan ∠ DAC · \cos ∠ DAC = $$\frac{4}{5}$.

答案： 9. $\frac{4}{5}$

10. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ BAC ＞ 90^{\circ} $，$ BC = 4\sqrt{2} $，将 $ △ ABC $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $，点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 落在 $ BA $ 的延长线上，若 $ \sin ∠ B'AC = 0.8 $，则 $ AC = $5.

答案： 10. 5

11. 如图①，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，以下是小亮探究 $ \frac{a}{\sin A} $ 与 $ \frac{b}{\sin B} $ 之间关系的方法：
$ \because \sin A = \frac{a}{c} $，$ \sin B = \frac{b}{c} $，$ \therefore c = \frac{a}{\sin A} $，$ c = \frac{b}{\sin B} $，$ \therefore \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $.
根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角 $ △ ABC $ 中，探究 $ \frac{a}{\sin A} $，$ \frac{b}{\sin B} $，$ \frac{c}{\sin C} $ 之间的关系，并写出探究过程.

答案：
11. 解: $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$.
探究过程: 如答图，过点A作AD⊥BC于点D, 过点B作BE⊥AC于点E, 在Rt△ABD中, sin∠ABC = $\frac{AD}{c}$,
即AD = c sin∠ABC;
在Rt△ADC中, sinC = $\frac{AD}{b}$, 即AD = b sinC,
∴c sin∠ABC = b sinC, 即$\frac{b}{\sin ∠ ABC}$ = $\frac{c}{\sin C}$,
同理可得$\frac{a}{\sin ∠ BAC}$ = $\frac{c}{\sin C}$, 则$\frac{a}{\sin ∠ BAC}$ = $\frac{b}{\sin ∠ ABC}$ = $\frac{c}{\sin C}$,
因此，在锐角△ABC中, $\frac{a}{\sin A}$ = $\frac{b}{\sin B}$ = $\frac{c}{\sin C}$.

12. (2023·深圳改编)如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ \cos A = \frac{1}{3} $，过点 $ C $ 作 $ CE ⊥ AB $ 交 $ AB $ 的延长线于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ EF ⊥ AD $ 交 $ AD $ 于点 $ F $，若 $ S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 24 $，求 $ EF · BC $ 的值.

答案： 12. 解:
∵在菱形ABCD中, cosA = $\frac{1}{3}$,
∴AD//BC, AB = BC,
∴∠CBE = ∠A.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB = 90°,
∴cos∠CBE = $\frac{BE}{CB}$,
∴BE = BC·cos∠CBE = BC·cosA = $\frac{1}{3}$BC,
∴AE = AB + BE = AB + $\frac{1}{3}$BC = AB + $\frac{1}{3}$AB = $\frac{4}{3}$AB.
∵EF⊥AD, CE⊥AB,
∴∠AFE = ∠BEC = 90°.
又
∵∠CBE = ∠A,
∴△AFE∽△BEC,
∴$\frac{AE}{BC}$ = $\frac{EF}{CE}$,
∴EF·BC = AE·CE = $\frac{4}{3}$AB·CE = $\frac{4}{3}$S菱形ABCD = $\frac{4}{3}$×24 = 32.