《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

9. 对于二次函数 $ y = ax^{2} $，已知当 $ x $ 由 $ 1 $ 增加到 $ 2 $ 时，函数值减少 $ 4 $，则常数 $ a $ 的值是$-\frac{4}{3}$。

答案： 9. $-\frac{4}{3}$

10. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $ B $，点 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，分别过点 $ C $，$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，$ F $ 两点。当四边形 $ CDFE $ 为正方形时，线段 $ CD $ 的长为$-2 + 2\sqrt{5}$。

答案： 10. $-2 + 2\sqrt{5}$

11. 如图，直线 $ l $ 经过点 $ A(4,0) $ 和点 $ B(0,4) $，且与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图像在第一象限内相交于点 $ P $，若 $ △ AOP $ 的面积为 $ \frac{9}{2} $，求二次函数 $ y = ax^{2} $ 的表达式。

答案： 11. 解：
∵直线$l$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A(4,0)$，$B(0,4)$，
∴直线$l$的函数表达式为$y = - x + 4$。
设点$P$的坐标为$(m,n)$，
∵$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×4n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{9}{4}$。
∵点$P$在直线$l$上，
∴$-m + 4=\frac{9}{4}$，解得$m=\frac{7}{4}$，
∴$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
∵点$P$在抛物线$y = ax^{2}$上，
∴$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^{2}$，解得$a=\frac{36}{49}$，
∴二次函数$y = ax^{2}$的表达式为$y=\frac{36}{49}x^{2}$。

12. 画出二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图像并利用其图像解答下列问题：
(1) 指出它的图像与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 当 $ 1 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围；
(3) 当 $ -3 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。

答案：
12. 解：列表：

描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出。
连线：用平滑的线顺次连接各点。
如答图所示.
(1)图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$。
(2)当$x = 1$时，$y = - 1$；当$x = 2$时，$y = - 4$，
∴当$1＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-4＜y＜-1$。
(3)当$x = - 3$时，$y = - 9$；当$x = 0$时，$y = 0$，
∴当$-3＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-9＜y≤0$。

13. 如图，二次函数的图像顶点在原点，且点 $ (2,1) $ 在二次函数的图像上，过点 $ F(0,1) $ 作 $ x $ 轴的平行线交二次函数的图像于 $ M $，$ N $ 两点。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) $ P $ 为平面内一点，当 $ △ PMN $ 是等边三角形时，求点 $ P $ 的坐标。

答案： 13. 解：
(1)
∵二次函数的图像顶点在原点，
∴设二次函数的表达式为$y = ax^{2}$，
将$(2,1)$代入，得$1 = 4a$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}$。
(2)将$y = 1$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}$，得$1=\frac{1}{4}x^{2}$，解得$x=\pm2$，故点$M$，$N$的坐标分别为$(-2,1)$，$(2,1)$，则$MN = 4$。
∵$△ PMN$是等边三角形，
∴点$P$在$y$轴上且$PM = 4$，
∴$PF = 2\sqrt{3}$。
∵$F(0,1)$，
∴点$P$的坐标为$(0,1 + 2\sqrt{3})$或$(0,1 - 2\sqrt{3})$。