《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. (2024·江西)【综合与实践】
如图①，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ D $ 是斜边 $ AB $ 上的动点(不与点 $ A $ 重合)，连接 $ CD $，以 $ CD $ 为直角边在 $ CD $ 的右侧构造 $ \mathrm{Rt} △ CDE $，$ ∠ DCE = 90^{\circ} $，连接 $ BE $，$ \dfrac{CE}{CD} = \dfrac{CB}{CA} = m $。
【特例感知】
(1) 当 $ m = 1 $ 时，$ BE $ 与 $ AD $ 之间的位置关系是AD⊥BE，数量关系是AD=BE；
【类比迁移】
(2) 如图②，当 $ m ≠ 1 $ 时，猜想 $ BE $ 与 $ AD $ 之间的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
(3) 在(1)的条件下，点 $ F $ 与点 $ C $ 关于 $ DE $ 对称，连接 $ DF $，$ EF $，$ BF $，如图③。已知 $ AC = 6 $，设 $ AD = x $，四边形 $ CDFE $ 的面积为 $ y $。
① 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式，并求出 $ y $ 的最小值；
② 当 $ BF = 2 $ 时，请求出 $ AD $ 的长度。

答案：
1.
(1)AD⊥BE，AD=BE
(2)解:BE=mAD，AD⊥BE.
证明:
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE.
∵$\frac{CE}{CD}$=$\frac{CB}{CA}$=m，
∴△ADC∽△BEC，
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BC}{AC}$=m，∠CBE=∠A，
∴BE=mAD.
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AD⊥BE.
(3)解:①连接CF交DE于点O，如答图.
由
(1)知，AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∴BD=6$\sqrt{2}$−x，
∴AD=BE=x，∠DBE=90°，
∴DE²=BD²+BE²=(6$\sqrt{2}$−x)²+x².
∵点F与点C关于DE对称，
∴DE垂直平分CF，
∴CE=EF，CD=DF；
∵CD=CE，
∴CD=DF=EF=CE；
∵∠DCE=90°，
∴四边形CDFE是正方形，
∴y=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$[(6$\sqrt{2}$−x)²+x²]，
∴y与x的函数表达式为y=x²−6$\sqrt{2}$x+36(0＜x≤6$\sqrt{2}$).
∵y=x²−6$\sqrt{2}$x+36=(x−3$\sqrt{2}$)²+18，
∴y的最小值为18.
②过点D作DH⊥AC于点H，连接OB，如答图，
则△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴CH=6 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
易得OB=OE=OD=OC=OF，
∴∠OCB=∠OBC，∠OBF=∠OFB，
∴∠OBC+∠OBF=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴∠CBF=90°.
∵BC=6，BF=2，
∴CF=$\sqrt{BC²+BF²}$=2$\sqrt{10}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=2$\sqrt{5}$.
∵CH²+DH²=CD²，
∴(6 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²+($\frac{\sqrt{2}}{2}$x)²=(2$\sqrt{5}$)²，
解得x=4$\sqrt{2}$或x=2$\sqrt{2}$，
∴AD的长度为4$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$.