《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

4. 如图，抛物线 $ y = mx^2 - 2mx - 3m(m ＞ 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，$ M $ 为抛物线的顶点.
(1)求 $ A $，$ B $ 两点的坐标；
(2)若 $ ∠ BCM = 90° $，求 $ m $ 的值.

答案：
4. 解:
(1)令$mx^{2}-2mx - 3m = 0$，又$m ＞ 0$，
$\therefore x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x_{1} = -1$，$x_{2} = 3$，
$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$。
(2)$\because y = mx^{2}-2mx - 3m$，令$x = 0$，则$y = -3m$，
$\therefore C(0,-3m)$。$\because m ＞ 0$，$\therefore OC = 3m$。
$\because y = m(x - 1)^{2}-4m$，$\therefore M(1,-4m)$，
如答图，作$MN⊥ y$轴于点$N$，
$\because ∠ BCM = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ BCO+∠ MCN = 90^{\circ}$。
又$\because ∠ CMN+∠ MCN = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ BCO = ∠ CMN$。
又$∠ BOC = ∠ MNC$，
$\therefore △ MNC∽△ COB$，
$\therefore \frac{MN}{CO} = \frac{CN}{OB}$，即$\frac{1}{3m} = \frac{m}{3}$，又$m ＞ 0$，解得$m = 1$。

5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $，$ B $（点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧），与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，连接 $ AC $，$ BC $.
(1)求线段 $ AC $ 的长；
(2)若 $ M $ 为该抛物线上的一个动点，当 $ △ BCM $ 是以 $ BC $ 为直角边的直角三角形时，求点 $ M $ 的坐标.

答案：
5. 解:
(1)对于抛物线$y = x^{2}-2x - 3$，
令$x = 0$，则$y = -3$，$\therefore C(0,-3)$。
令$y = 0$，则$x^{2}-2x - 3 = 0$，解得$x = 3$或$x = -1$。
$\because$点$A$在点$B$的左侧，$\therefore A(-1,0)$，$B(3,0)$，
$\therefore AC = \sqrt{(-1 - 0)^{2}+(0 + 3)^{2}} = \sqrt{10}$。
(2)由
(1)知，$B(3,0)$，$C(0,-3)$，$\therefore OB = OC = 3$。
设$M(m,m^{2}-2m - 3)$。
$\because △ BCM$为直角三角形，$\therefore$当$∠ BCM = 90^{\circ}$时，
如答图，过点$M$作$MH⊥ y$轴于点$H$，则$HM = m$。
$\because OB = OC$，$\therefore ∠ OCB = ∠ OBC = 45^{\circ}$，
$\therefore ∠ HCM = 90^{\circ}-∠ OCB = 45^{\circ}$，
$\therefore ∠ HMC = 45^{\circ} = ∠ HCM$，$\therefore CH = MH$。
$\because CH = -3-(m^{2}-2m - 3) = -m^{2}+2m$，
$\therefore -m^{2}+2m = m$，
解得$m = 0$（不符合题意，舍去）或$m = 1$，$\therefore M(1,-4)$。
当$∠ CBM = 90^{\circ}$时，如答图，过点$M'$作$M'H'⊥ x$轴，则$M'H' = BH'$，同理可得$M'(-2,5)$。
综上，满足条件的点$M$的坐标为$(1,-4)$或$(-2,5)$。

6. (2023·湖北)如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx - 6(a ≠ 0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2,0) $，$ B(6,0) $，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，顶点为 $ D $，连接 $ BC $.
(1)抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$；(直接写出结果)
(2)连接 $ AC $ 并延长交 $ BD $ 的延长线于点 $ E $，求 $ ∠ CEB $ 的度数.

答案：
6.
(1)$y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$
(2)解:在$y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 6$中，令$x = 0$，则$y = -6$，
$\therefore C(0,-6)$。
$\because y = \frac{1}{2}x^{2}-2x - 6 = \frac{1}{2}(x - 2)^{2}-8$，$\therefore D(2,-8)$。
设直线$AC$的函数表达式为$y = k_{1}x + b_{1}$，
将$A(-2,0)$，$C(0,-6)$代入，得
$\begin{cases}-2k_{1}+b_{1} = 0\\b_{1} = -6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_{1} = -3\\b_{1} = -6\end{cases}$，
$\therefore$直线$AC$的函数表达式为$y = -3x - 6$，
同理，由点$D(2,-8)$，$B(6,0)$，可得直线$BD$的函数表达式为$y = 2x - 12$，
令$-3x - 6 = 2x - 12$，解得$x = \frac{6}{5}$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(\frac{6}{5},-\frac{48}{5})$。
由题意可得$OA = 2$，$OB = OC = 6$，$AB = 8$，
$\therefore AC = \sqrt{OA^{2}+OC^{2}} = \sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$。
如答图，过点$E$作$EF⊥ x$轴于点$F$，

$\therefore AE = \sqrt{(-2-\frac{6}{5})^{2}+(0-\frac{48}{5})^{2}} = \frac{16\sqrt{10}}{5}$，
$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AB}{AE} = \frac{8}{\frac{16\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$，$\therefore \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AE}$。
$\because ∠ BAC = ∠ EAB$，$\therefore △ ABC∽△ AEB$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ AEB$。
$\because OB = OC$，$∠ COB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ ABC = 45^{\circ}$，
$\therefore ∠ AEB = 45^{\circ}$，即$∠ CEB = 45^{\circ}$。