《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. (2024·惠山区期中)已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ (1, -1) $，$ (2, -4) $ 和 $ (0, 4) $ 三点，求抛物线的函数表达式.

答案： 1. 解: 根据题意, 得$\{\begin{array}{l} a+b+c=-1,\\ 4a+2b+c=-4,\\ c=4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-6,\\ c=4,\end{array} $
∴抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-6x+4.$

2. 如图，抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ A $，$ B $，$ C $ 三点.

(1) 观察图像，写出 $ A $，$ B $，$ C $ 三点的坐标，并求出抛物线的函数表达式；
(2) 求此抛物线的顶点坐标和对称轴.

答案： 2. 解:
(1) 由题图可知点 A 的坐标为$(-1,0)$, 点 B 的坐标为$(0,-3)$, 点 C 的坐标为$(4,5)$. 因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$A(-1,0),C(4,5),B(0,-3)$三点,
$\therefore \{\begin{array}{l} a-b+c=0,\\ 16a+4b+c=5,\\ c=-3,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=-2,\\ c=-3,\end{array} $
∴抛物线的函数表达式是$y=x^{2}-2x-3.$
(2)$\because y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4,$
∴顶点坐标为$(1,-4)$, 对称轴为直线$x=1.$

3. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的对应值如下表，根据表格数据解答下列问题.

(1) 该二次函数的图像与 $ y $ 轴的交点坐标是(0,4)，对称轴是直线$x=-\frac {5}{2}$；
(2) 求出该二次函数的表达式；
(3) 向下平移该二次函数的图像，使其经过原点，求出平移后的图像所对应的二次函数表达式.

答案： 3.
(1)$(0,4)$ 直线$x=-\frac {5}{2}$
(2) 解:
∵点$(-2,-2),(-1,0),(0,4)$均在函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像上,
$\therefore \{\begin{array}{l} 4a-2b+c=-2,\\ a-b+c=0,\\ c=4,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ b=5,\\ c=4,\end{array} $
∴二次函数的表达式为$y=x^{2}+5x+4.$
(3) 解:
∵图像向下平移 4 个单位长度后经过原点,
∴平移后的图像所对应的二次函数的表达式是$y=x^{2}+5x.$

4. 如图，抛物线的顶点坐标为 $ (1, -4) $，且经过点 $ (3, 0) $.
(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 若在 $ y $ 轴正半轴上取一点 $ P(0, m) $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线，分别交抛物线于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧），若 $ PA:PB = 1:2 $，求 $ m $ 的值.

答案： 4. 解:
(1) 设抛物线的函数表达式为$y=a(x-1)^{2}-4$, 把$(3,0)$代入, 得$0=a×(3-1)^{2}-4$, 解得$a=1$,
∴抛物线的函数表达式为$y=(x-1)^{2}-4.$
(2) 设$PA=a,\because PA:PB=1:2,\therefore PB=2a,$
则$A(-a,m),B(2a,m),$
分别代入$y=(x-1)^{2}-4$, 得$(-a-1)^{2}-4=m,(2a-1)^{2}-4=m,$
$\therefore (-a-1)^{2}=(2a-1)^{2}$, 解得$a=0$(舍去)或$a=2,$
$\therefore A(-2,m).$
把$(-2,m)$代入$y=(x-1)^{2}-4$, 得$m=(-2-1)^{2}-4=5.$