《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

6. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$上一点,$BC=\sqrt{3}AB=3BD$,若$AD=4$,则$AC$的长度为$4\sqrt{3}$.

答案： 6.$4\sqrt{3}$

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=135^{\circ},BC=10$,分别以$AB,AC$为直角边向外作等腰直角三角形$ABD$和等腰直角三角形$ACE(∠ ABD=∠ ACE=90^{\circ}),M,N$分别是$AD,AE$的中点,连接$DE,MN$,则$DE=$$10\sqrt{2}$.

答案： 7.$10\sqrt{2}$

8. (2023·徐州)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90^{\circ},∠ A=30^{\circ},BC=2,D$为$AB$的中点.若点$E$在边$AC$上,且$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$,则$AE$的长为1或2.

答案： 8.1或2

9. 如图,$O$为线段$PB$上一点,以点$O$为圆心,$OB$的长为半径的$\odot O$交$PB$于点$A$,点$C$在$\odot O$上,连接$PC$,满足$PC^{2}=PA· PB$.
(1)求证:$PC$是$\odot O$的切线;
(2)若$AB=3PA$,求$\frac{AC}{BC}$的值.

答案：
9.
(1)证明:连接OC,如答图,
　　　　　　　
∵$PC^{2}=PA· PB$,
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$.
∵∠P=∠P,
∴△PAC∽△PCB,
∴∠PCA=∠B.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠PCA+∠OCA=90°,
∴OC⊥PC;
　又OC为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线.
(2)解:
∵AB=3PA,
∴PB=4PA,OA=OC=1.5PA,PO=2.5PA.
∵OC⊥PC,
∴PC=$\sqrt{PO^{2}-OC^{2}}$=2PA.
∵△PAC∽△PCB,
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{PC}{PB}=\frac{2PA}{4PA}=\frac{1}{2}$.

10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$在边$BC$上移动(点$E$不与点$B,C$重合),满足$∠ DEF=∠ B$,且点$D,F$分别在边$AB,AC$上.
(1)求证:$△ BDE∽ △ CEF$;
(2)当点$E$移动到$BC$的中点时,求证:$FE$平分$∠ DFC$.

答案： 10.证明:
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠BDE=180°−∠B−∠DEB,∠CEF=180°−∠DEF−∠DEB,
　又
∵∠DEF=∠B,
∴∠BDE=∠CEF,
∴△BDE∽△CEF.
(2)
∵△BDE∽△CEF,
∴$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.
∵E是BC的中点，
∴BE=CE,
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$.
∵∠DEF=∠B=∠C,
∴△DEF∽△ECF,
∴∠DFE=∠CFE,
∴FE平分∠DFC;