《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. (2024·顺城区三模)【生活情境】
为美化校园环境,某学校根据地形情况,要对景观带中一个长$AD = 4$m,宽$AB = 1$m的矩形水池$ABCD$进行加长改造(如图①,改造后的水池$ABNM$仍为矩形,以下简称水池1),同时,再建造一个周长为12m的矩形水池$EFGH$(如图②,以下简称水池2).
【建立模型】
设水池1的边$AD$加长的长度$DM$为$x$m,加长后水池1的总面积为$y_1$m²,则$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1 = x + 4(x ＞ 0)$;设水池2的边$EF$的长为$x$m,面积为$y_2$m²,则$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2 = ax^2 + bx(0 ＜ x ＜ 6)$,上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③.
【问题解决】
(1)求$y_2$关于$x$的函数表达式;
(2)在$1 ＜ x ＜ 4$范围内,求两个水池面积差的最大值和此时$x$的值;
(3)假设水池$ABCD$的边$AD$的长度为$b$m,其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3),则水池3的总面积$y_3$m²关于$x$m的函数表达式为$y_3 = x + b(x ＞ 0)$.若水池3与水池2的面积相等时,$x$有唯一的值,求$b$的值.

答案：
1.解:
(1)由图像,得y₁=x+4经过点C,E,
∵点C的横坐标为1,点E的横坐标为4,
∴当x=1时,y₁=5,当x=4时,y₁=8,
∴C(1,5),E(4,8).
∵y₂=ax²+bx的图像经过点C(1,5),E(4,8),
∴{5=a+b,8=16a+4b,解得{a=-1,b=6},
∴y₂关于x的函数表达式为y₂=-x²+6x(0＜x＜6).
(2)如答图，在抛物线上的CE段上任取一点F,过点F作FG//y轴交线段CE于点G,

则线段FG表示两个水池面积的差,
设F(m,-m²+6m),则G(m,m+4),
∴FG=(-m²+6m)-(m+4)=-m²+5m-4=-(m - $\frac{5}{2}$)²+$\frac{9}{4}$,
∵-1＜0,1＜m＜4,
∴当m=$\frac{5}{2}$时,FG有最大值为$\frac{9}{4}$,
∴在1＜x＜4范围内,两个水池面积差的最大值为$\frac{9}{4}$,此时x的值为$\frac{5}{2}$.
(3)
∵水池3与水池2的面积相等,
∴y₃=y₂,
即x+b=-x²+6x,
∴x²-5x+b=0.
∵若水池3与水池2的面积相等时,x有唯一的值,
∴(-5)²-4×1×b=0,解得b=$\frac{25}{4}$.