《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

2. (2024·新县一模)综合与实践
(1) 操作判断
如图①—③，D 为等腰 Rt△ABC 的斜边 AB 所在直线上的一个动点，连接 CD，把 CD 绕着点 C 逆时针旋转 90∘ 到 CE 的位置，连接 BE。同学们通过观察，发现了以下结论：① AD=BE；② AD⊥BE；③ 如图②，若 AC=BC=2，四边形 BECD 的面积为2；④ BE，BD，CD 的数量关系是BD²+BE²=2CD²；
(2) 类比迁移
如图④—⑥，D 为等腰 Rt△ABC 的直角边 BC 所在直线上的一个动点，连接 AD，把 AD 绕着点 D 逆时针旋转 90∘ 到 DE 的位置，连接 BE。请你类比问题(1)中的结论，选用图④，⑤，⑥中的任意一个图形解答下列问题：
① 求 BECD​ 的值；
② 试探究 BE，BC，DE 的数量关系，并证明你的结论；
(3) 拓展应用
若 AC=BC=2，当点 D 在直线 BC 上运动至 CD=3 时，请直接写出 EC 的长和以 A，B，D，E 为顶点的四边形的面积。

答案： 2.
(1)③2　④BD²+BE²=2CD²
(2)解:①连接AE，
∵DA=DE，DA⊥DE，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠DAC=∠EAB，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴△DAC∽△EAB，
∴$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
②BE²+2BC²=2DE²，
证明:
∵△DAC∽△EAB，
∴∠EBA=∠DCA=90°，
∴BE²+AB²=AE².
∵AB²=2BC²，AE²=2DE²，
∴BE²+2BC²=2DE².
(3)解:当点D在点C左侧时，EC=$\sqrt{10}$，四边形ABED的面积为$\frac{25}{2}$；当点D在点C右侧时，EC=$\sqrt{34}$，四边形ABDE的面积为$\frac{15}{2}$.