《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

三、解答题(共50分)
11. (12分)对于抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $。
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此抛物线；
(2)结合图像，当 $ 0＜x＜3 $ 时，$ y $ 的取值范围是$-1≤ y ＜ 3$。

答案：
11.
(1)解:$y=x^{2}-4x+3=(x^{2}-4x+4)-4+3=(x - 2)^{2}-1.$
列表:
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 - 1 0 3 …
函数图像如答图所示.

(2)$-1≤ y ＜ 3$

12. (12分)(2024·江宁区月考)二次函数 $ y = x^2 - 2x + c $ 的图像如图所示。
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法。

答案： 12.解:
(1)把$(4,5)$代入$y=x^{2}-2x+c$,得$4^{2}-2×4+c=5$,解得$c=-3$,
∴抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-2x - 3.$
$\because y=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$,
∴该抛物线的顶点坐标为$(1,-4).$
(2)设平移后抛物线的函数表达式为$y=(x - 1 + a)^{2}-4$,把点$(0,0)$代入,得$(0 - 1 + a)^{2}-4=0$,解得$a = 3$或$a=-1$.故将该抛物线向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度，可使其经过坐标原点.

13. (12分)(2024·溧阳期中)如图，抛物线 $ y = x^2 - ax $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $，且过点 $ A(5,b) $。
(1)求 $ a $，$ b $ 的值；
(2)若 $ B $ 是抛物线对称轴上的一点，且点 $ B $ 在第一象限，当 $ △ OAB $ 的面积为15时，求点 $ B $ 的坐标。

答案：
13.解:
(1)
∵抛物线$y=x^{2}-ax$的对称轴为直线$x = 2$,
$\therefore -\frac{-a}{2}=2$,
∴$a = 4$,
∴$y=x^{2}-4x.$
∵抛物线经过点$A(5,b)$,
∴$b = 25 - 20 = 5.$
(2)
∵B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,
∴设$B(2,m)(m ＞ 0),$
设直线OA的函数表达式为$y=kx$,则$5k = 5$,解得$k = 1$,
∴直线OA的函数表达式为$y=x.$
如答图,设直线OA与抛物线的对称轴交于点H,则$H(2,2),$
$\therefore BH=\vert m - 2\vert.$
$\because S_{△ OAB}=15,$
$\therefore \frac{1}{2}×\vert m - 2\vert×5 = 15,$
解得$m = 8$或$m=-4$(舍去),
∴点B的坐标为$(2,8).$

14. (14分)(2023·吉林改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^2 + 2x + c $ 经过点 $ A(0,1) $，点 $ P $，$ Q $ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $ m $，$ 2m(m＞0) $，连接 $ AP $，$ AQ $。
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当点 $ Q $ 与此抛物线的顶点重合时，求 $ m $ 的值；
(3)当 $ ∠ PAQ $ 的边与 $ x $ 轴平行时，求点 $ P $ 与点 $ Q $ 的纵坐标的差。

答案： 14.解:
(1)
∵抛物线$y=-x^{2}+2x+c$经过点$A(0,1),$
$\therefore c = 1$,
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 1.$
(2)$\because y=-x^{2}+2x + 1=-(x - 1)^{2}+2,$
∴顶点坐标为$(1,2).$
∵点Q与此抛物线的顶点重合,点Q的横坐标为2m,
$\therefore 2m = 1$,解得$m=\frac{1}{2}.$
(3)①当$AQ// x$轴时,点A,Q关于对称轴直线$x = 1$对称,$x_{Q}=2m = 2$,
∴$m = 1,$
则$-1^{2}+2×1 + 1 = 2$,
∴$P(1,2),Q(2,1),$
∴点P与点Q的纵坐标的差为$2 - 1 = 1.$
②当$AP// x$轴时,点A,P关于对称轴直线$x = 1$对称,
$x_{P}=m = 2,x_{Q}=2m = 4,$
则$-4^{2}+2×4 + 1=-7$,
∴$P(2,1),Q(4,-7),$
∴点P与点Q的纵坐标的差为$1-(-7)=8.$
综上所述,点P与点Q的纵坐标的差为1或8.