《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，在$\odot O$中，$AB ⊥ OC$，垂足为$D$，$AB = 8$，$CD = 2$，若$P$是$\overset{\frown}{AmB}$上的任意一点，则$\sin ∠ APB =$(B)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 1.B

2. 如图，$\odot O$的直径$AB$经过弦$CD$的中点$H$，若$\cos ∠ CDB = \frac{4}{5}$，$BD = 5$，则$\odot O$的半径为$\frac{25}{6}$.

答案： 2.$\frac{25}{6}$

3. 如图，$D$是$△ ABC$的边$BC$上一点，连接$AD$，作$△ ABD$的外接圆，将$△ ADC$沿直线$AD$折叠，点$C$的对应点$E$落在$\odot O$上.
(1) 求证：$AE = AB$；
(2) 当$∠ CAB = 90^{\circ}$，$\cos ∠ ADB = \frac{1}{3}$，$BE = 2$时，求$BC$的长.

答案：
3.
(1)证明:由折叠知,AC=AE,∠C=∠AED.
∵∠ABC=∠AED,
∴∠C=∠ABC,
∴AB=AC,
∴AE=AB.
(2)解:如答图,过点A作AF⊥BE于点F,
　由
(1)知,AE=AB,
∴EF=$\frac{1}{2}$BE=1.
　
∵∠ADB=∠AEB,
　cos∠ADB=$\frac{1}{3}$,
∴cos∠AEB=$\frac{1}{3}$.
　在Rt△AFE中,cos∠AEB=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{3}$,
∴AE=3EF=3,
∴AC=AB=3.
∵∠CAB=90°,
∴BC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$.

4. (2024·玄武区模拟)如图，$△ ABC$的外角$∠ EAC$的平分线$AD$交其外接圆$\odot O$于点$D$，连接$DB$，$DC$.若$AC$是$\odot O$的直径，$\sin ∠ BDC = \frac{3}{5}$，求$\tan ∠ DBA$的值.

答案：
4.解:
∵AD是∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAC;
∵∠EAD是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠EAD=∠DCB,又
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠DCB=∠DBC,
∴DB=DC;
　如答图，连接DO并延长交BC于点F,连接OB,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC=90°.
　
∵∠BDC=∠BAC,sin∠BDC=$\frac{3}{5}$,
∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$,
　设BC=3a,AC=5a,则AB=4a.
∵OB=OC,BD=CD,
∴OD是BC的垂直平分线，
∴BF=CF=$\frac{3}{2}$a.
∵AO=CO,
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$AB=2a,
∴DF=DO+OF=$\frac{5}{2}$a+2a=$\frac{9}{2}$a.
∵OD=OC,
∴∠ACD=∠FDC;
∵∠ACD=∠DBA,
∴∠DBA=∠FDC,
∴tan∠DBA=tan∠FDC=$\frac{FC}{DF}$=$\frac{\frac{3}{2}a}{\frac{9}{2}a}$=$\frac{1}{3}$.

5. 如图，$AB$是半圆$O$的直径，弦$AD$，$BC$相交于点$P$，若$∠ DPB = α$，则$CD:AB$等于(B)

A.$\sin α$
B.$\cos α$
C.$\tan α$
D.$\frac{1}{\tan α}$

答案： 5.B