《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3 cm，BC=4 cm. 点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度为2 cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度为1 cm/s. 设运动时间为t s.
(1)当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
(2)当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

答案：
解:
(1) 由题意, 得 $AQ = 2t \mathrm{cm}$, $BP = t \mathrm{cm}$, 则 $AP = (3 - t) \mathrm{cm}$.
$\because ∠ ABC = 90^{\circ}$, $AB = 3 \mathrm{cm}$, $BC = 4 \mathrm{cm}$,
$\therefore AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 5 \mathrm{cm}$.
$\because ∠ A = ∠ A$,
$\therefore$ 当 $ \frac{AQ}{AC} = \frac{AP}{AB} $ 时, $ △ AQP ∼ △ ACB $, 即 $ \frac{2t}{5} = \frac{3 - t}{3} $,
解得 $ t = \frac{15}{11} $;
当 $ \frac{AQ}{AB} = \frac{AP}{AC} $ 时, $ △ AQP ∼ △ ABC $, 即 $ \frac{2t}{3} = \frac{3 - t}{5} $,
解得 $ t = \frac{9}{13} $.
$\therefore$ 当 $ t $ 的值为 $ \frac{15}{11} $ 或 $ \frac{9}{13} $ 时, $ △ APQ $ 与 $ △ ABC $ 相似.
(2) 当 $ AQ = AP $ 时, $ 2t = 3 - t $, 解得 $ t = 1 $;
当 $ PA = PQ $ 时, 作 $ PM ⊥ AQ $ 于点 $ M $, 如答图①,
则 $ AM = MQ = t \mathrm{cm} $.
$\because ∠ MAP = ∠ BAC $, $ \therefore △ AMP ∼ △ ABC $,
$\therefore \frac{AM}{AB} = \frac{AP}{AC} $, 即 $ \frac{t}{3} = \frac{3 - t}{5} $, 解得 $ t = \frac{9}{8} $;
当 $ QA = QP $ 时, 作 $ QN ⊥ AP $ 于点 $ N $, 如答图②, 则 $ AN = PN = \frac{1}{2}(3 - t) \mathrm{cm} $, $ QN // BC $, $ \therefore △ ANQ ∼ △ ABC $,
$\therefore \frac{AQ}{AC} = \frac{AN}{AB} $, 即 $ \frac{2t}{5} = \frac{\frac{1}{2}(3 - t)}{3} $, 解得 $ t = \frac{15}{17} $.
$\therefore$ 当 $ t $ 的值为 $ 1 $ 或 $ \frac{9}{8} $ 或 $ \frac{15}{17} $ 时, $ △ APQ $ 为等腰三角形.

2. (2024·海口期中)如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，D是BC边上的一个动点，点E在AC上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设BD的长为x(0＜x＜8).
(1)求证：△DCE∽△ABD；
(2)当CE=2时，求x的值；
(3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形？

答案：

(1) 证明: 如答图, $ \because ∠ ADC = ∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B + ∠ 3 $, $ ∠ 1 = ∠ B $,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3 $.
又 $ \because AB = AC $, $ \therefore ∠ B = ∠ C $, $ \therefore △ DCE ∼ △ ABD $.
(2) 解: $ \because △ DCE ∼ △ ABD $, $ \therefore \frac{CE}{BD} = \frac{DC}{AB} $, 即 $ \frac{CE}{x} = \frac{8 - x}{6} $,
$\therefore CE = -\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x $.
$\because CE = 2 $, $ \therefore -\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x = 2 $, 解得 $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 6 $.
(3) 解: ① 当 $ DA = DE $ 时, $ △ DCE ≌ △ ABD $, $ \therefore DC = AB = 6 $, 即 $ 8 - x = 6 $, 解得 $ x = 2 $;
② 当 $ EA = ED $ 时, $ ∠ DAE = ∠ 1 = ∠ B = ∠ C $,
$\therefore △ DAC ∼ △ ABC $, $ \therefore \frac{DC}{AC} = \frac{AC}{BC} $, 即 $ \frac{8 - x}{6} = \frac{6}{8} $,
解得 $ x = \frac{7}{2} $;
③ 当 $ AD = AE $ 时, $ ∠ 1 = ∠ AED ＞ ∠ C $,
$\because ∠ 1 = ∠ B = ∠ C $, $ \therefore AD = AE $ 的情况不成立.
综上所述, 当 $ x = 2 $ 或 $ x = \frac{7}{2} $ 时, $ △ ADE $ 为等腰三角形.

3. 如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，且AD∶DB=1∶2，现将△ACB折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.
(1)求证：△ADE∽△BFD；
(2)求CE∶CF的值.

答案：
(1) 证明: $ \because △ ABC $ 是等边三角形,
$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ EDF = 60^{\circ}$,
$\therefore ∠ ADE + ∠ BDF = ∠ BFD + ∠ BDF = 120^{\circ}$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ BFD $, $ \therefore △ ADE ∼ △ BFD $.
(2) 解: $ \because △ ADE ∼ △ BFD $, $ \therefore \frac{AD}{BF} = \frac{AE}{BD} = \frac{DE}{DF} $, 设 $ \frac{AD}{BF} = \frac{AE}{BD} = \frac{DE}{DF} = k $, 则 $ \frac{CE}{CF} = \frac{DE}{DF} = k $, 设 $ CF = x $, 则 $ CE = kx $, 由 $ AD : DB = 1 : 2 $,
可设 $ AD = 1 $, $ DB = 2 $, $ \therefore AE = 3 - kx $, $ BF = 3 - x $,
$\therefore \frac{1}{3 - x} = \frac{3 - kx}{2} = k $, 解得 $ k = \frac{4}{5} $, 即 $ \frac{CE}{CF} = \frac{4}{5} $.