《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

9. 若二次函数 $ y = x^{2} - 2x - 3 $ 的图像上有且只有三个点到 $ x $ 轴的距离等于 $ m $，则 $ m $ 的值为4.

答案： 9. 4

10. 若点 $ P(m,n) $ 在二次函数 $ y = x^{2} + 2x + 2 $ 的图像上，且点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离小于 2，则 $ n $ 的取值范围是$ 1 ≤ n ＜ 10 $.

答案： 10. $ 1 ≤ n ＜ 10 $

11. (2024·启东月考)若二次函数 $ y = ax^{2} + 2 $ 的图像经过 $ P(1,3) $，$ Q(m,n) $ 两点，则代数式 $ n^{2} - 4m^{2} - 4n + 9 $ 的最小值为1.

答案： 11. 1

12. 点 $ D(n,y_{1}) $，$ E(3,y_{2}) $ 在抛物线 $ y = -x^{2} + 2x $ 上，若 $ y_{1} ＜ y_{2} $，则 $ n $ 的取值范围是$ n ＞ 3 $ 或 $ n ＜ -1 $.

答案： 12. $ n ＞ 3 $ 或 $ n ＜ -1 $

13. (2024·钟楼区月考)已知抛物线 $ y = x^{2} + (k - 1)x + 2 $.
(1)该抛物线经过一个定点：$ (0, 2) $；(写出坐标)
(2)若抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{3}{2} $，求抛物线的函数表达式；
(3)在(2)的基础上，若 $ P(m,n) $ 为抛物线上一点，且 $ n ＞ 6 $，直接写出 $ m $ 的取值范围.

答案： 13.
(1) $ (0, 2) $
(2) 解：$ \because $ 抛物线的对称轴为直线 $ x = \frac{1 - k}{2} = \frac{3}{2} $，$ \therefore k = -2 $，$ \therefore $ 抛物线的函数表达式为 $ y = x^{2} - 3x + 2 $。
(3) 解：$ \because P(m, n) $ 为抛物线上一点，当 $ n = 6 $ 时，$ m^{2} - 3m + 2 = 6 $，解得 $ m = -1 $ 或 $ m = 4 $。$ \because n ＞ 6 $，$ \therefore m ＜ -1 $ 或 $ m ＞ 4 $。

14. 如图，抛物线 $ y = x^{2} - 3x + \frac{5}{4} $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，$ D $ 是直线 $ BC $ 下方抛物线上一点，过点 $ D $ 作 $ y $ 轴的平行线，与直线 $ BC $ 相交于点 $ E $.
(1)求直线 $ BC $ 的函数表达式；
(2)当线段 $ DE $ 的长度最大时，求点 $ D $ 的坐标.

答案： 14. 解：
(1) $ \because $ 抛物线 $ y = x^{2} - 3x + \frac{5}{4} $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴相交于点 $ C $，$ \therefore $ 令 $ y = 0 $，可得 $ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = \frac{5}{2} $，$ \therefore A(\frac{1}{2}, 0) $，$ B(\frac{5}{2}, 0) $。令 $ x = 0 $，则 $ y = \frac{5}{4} $，$ \therefore C(0, \frac{5}{4}) $。设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，则 $ \begin{cases} \frac{5}{2}k + b = 0, \\ b = \frac{5}{4}, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -\frac{1}{2}, \\ b = \frac{5}{4}, \end{cases} $ $ \therefore $ 直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4} $。
(2) 设点 $ D $ 的坐标为 $ (m, m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) $，$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为 $ (m, -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4}) $。$ \because D $ 是直线 $ BC $ 下方抛物线上一点，$ \therefore DE = -\frac{1}{2}m + \frac{5}{4} - (m^{2} - 3m + \frac{5}{4}) = -m^{2} + \frac{5}{2}m $。$ \because -1 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ m = -\frac{\frac{5}{2}}{2 × (-1)} = \frac{5}{4} $ 时，线段 $ DE $ 的长度有最大值。此时 $ y_{D} = (\frac{5}{4})^{2} - 3 × \frac{5}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{15}{16} $，$ \therefore $ 点 $ D $ 的坐标为 $ (\frac{5}{4}, -\frac{15}{16}) $。