《2026年启东中学作业本九年级数学下册苏科版》

9. 如图,已知二次函数 $ y = (x - 3a)^2 - (3a + 2) $ ($ a $ 为常数),当 $ a $ 取不同的值时,其图像构成一个“抛物线系”.图中所示分别是当 $ a = -1 $,$ a = -\frac{1}{3} $,$ a = 1 $ 时对应的二次函数的图像,则该“抛物线系”的顶点所满足的函数表达式为$y=-x-2$.

答案： 9. $y=-x-2$

10. (2024·泰州模拟)已知二次函数 $ y = 2(x - 1)^2 + 1 $ 的图像为抛物线 $ C $.
(1)抛物线 $ C $ 的顶点坐标为(1,1);
(2)将抛物线 $ C $ 先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线 $ C_1 $,请判断抛物线 $ C_1 $ 是否经过点 $ P(2,3) $,并说明理由;
(3)当 $ -2 ≤ x ≤ 3 $ 时,求该二次函数的函数值 $ y $ 的取值范围.

答案： 10. $(1,1)$
(2) 解: 抛物线$C_{1}$不经过点$P(2,3)$. 理由:
∵将抛物线$C$先向左平移1个单位长度, 再向上平移2个单位长度,得到抛物线$C_{1}$,
∴抛物线$C_{1}$的函数表达式为$y=2x^{2}+3$, 把$x=2$代入, 得$y=2×2^{2}+3=11≠3$,
∴抛物线$C_{1}$不经过点$P(2,3)$.
(3) 解:
∵$y=2(x-1)^{2}+1$,
∴当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大, 当$x＜1$时,$y$随$x$的增大而减小, 当$x=-2$时,$y=19$; 当$x=3$时,$y=9$;
∴当$-2≤x≤3$时, 二次函数的函数值$y$的取值范围为$1≤y≤19$.

11. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,抛物线 $ y = a(x + 1)^2 - 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,-\frac{8}{3}) $,顶点为 $ D $,对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ H $.
(1)求 $ a $ 的值及点 $ A $,$ B $ 的坐标;
(2)连接 $ AD $,$ DC $,$ CB $,求四边形 $ ABCD $ 的面积.

答案： 11. 解:
(1)
∵抛物线与$y$轴交于点$C(0,-\frac {8}{3})$,
∴$a-3=-\frac {8}{3}$, 解得$a=\frac {1}{3}$,
∴$y=\frac {1}{3}(x+1)^{2}-3$.
当$y=0$时,$\frac {1}{3}(x+1)^{2}-3=0$, 解得$x_{1}=2,x_{2}=-4$,
∴$A(-4,0),B(2,0)$.
(2)
∵$A(-4,0),B(2,0),C(0,-\frac {8}{3}),D(-1,-3)$,
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ADH}+S_{梯形OCDH}+S_{△BOC}=\frac {1}{2}×3×3+\frac {1}{2}×(\frac {8}{3}+3)×1+\frac {1}{2}×2×\frac {8}{3}=10$.

12. 已知 $ A(1,0) $,$ B(0,-1) $,$ C(-1,2) $,$ D(2,-1) $,$ E(4,2) $ 五个点,抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + k(a ＞ 0) $ 经过其中的三个点.
(1)求证:$ C $,$ E $ 两点不可能同时在抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + k(a ＞ 0) $ 上;
(2)点 $ A $ 在抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + k(a ＞ 0) $ 上吗? 为什么?
(3)求 $ a $ 和 $ k $ 的值.

答案： 12.
(1) 证明:
∵抛物线$y=a(x-1)^{2}+k$的对称轴为直线$x=1$, 而$C(-1,2),E(4,2)$两点的纵坐标相等,
假设$C,E$两点同时在抛物线上, 由抛物线的对称性可知, 点$C,E$关于直线$x=1$对称.
∵点$C(-1,2)$到对称轴的距离为2, 点$E(4,2)$到对称轴的距离为3, 与题意矛盾,
∴$C,E$两点不可能同时在抛物线上.
(2) 解: 点$A$不在抛物线上. 理由: 假设点$A(1,0)$在抛物线$y=a(x-1)^{2}+k(a＞0)$上,
则$a(1-1)^{2}+k=0$, 解得$k=0$.
∵抛物线经过五个点中的三个点,
将$B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)$代入,
得出$a$的值分别为$a=-1,a=\frac {1}{2},a=-1,a=\frac {2}{9}$,
∴抛物线经过的点是$B,D$.
又
∵$a＞0$, 与$a=-1$矛盾,
∴假设不成立,
∴点$A$不在抛物线上.
(3) 解: 由于点$A$不在抛物线上, 且$C,E$两点不可能同时在抛物线上, 故抛物线经过$B,C,D$三点或经过$B,D,E$三点.
将$D,C$两点的坐标代入$y=a(x-1)^{2}+k$中,
得$\{\begin{array}{l} a+k=-1,\\ 4a+k=2,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=1,\\ k=-2.\end{array} $
将$E,D$两点的坐标代入$y=a(x-1)^{2}+k$中,
得$\{\begin{array}{l} 9a+k=2,\\ a+k=-1,\end{array} $解得$\{\begin{array}{l} a=\frac {3}{8},\\ k=-\frac {11}{8}.\end{array} $
综上所述,$\{\begin{array}{l} a=1,\\ k=-2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} a=\frac {3}{8},\\ k=-\frac {11}{8}.\end{array} $