《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

2. 据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约 1 000 只，并以平均每年 8％的速度增加.
(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约数量；
(2)写出$y$(珍稀鸟类的数量)关于$x$(经过的年数)的函数关系式；
(3)约经过多少年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的 3 倍或以上？（结果为整数）(参考数据：$\lg 2 \approx 0.301 0, \lg 3 \approx 0.477 1$)

答案： 2.解：
(1)依题意，得一年后这种鸟类的数量为$1000 + 1000×8\% = 1080$，
两年后这种鸟类的数量为$1080 + 1080×8\%\approx1166$.
(2)由题意可知珍稀鸟类的现有数量为$1000$只，并以平均每年$8\%$的速度增加，
则所求的函数关系式为$y = 1000×1.08^{x},x\in N$.
(3)令$1000×1.08^{x}\geqslant3×1000$，得$1.08^{x}\geqslant3$，
两边取常用对数得$\lg1.08^{x}\geqslant\lg3$，
即$x\lg1.08\geqslant\lg3$.
因为$\lg1.08＞0$，所以$x\geqslant\frac{\lg3}{\lg1.08}$，
所以$x\geqslant\frac{\lg3}{\lg108 - 2}$
因为$\lg108=\lg(3^{3}×2^{2})=3\lg3 + 2\lg2$，
所以$x\geqslant\frac{\lg3}{3\lg3 + 2\lg2 - 2}$
$\approx\frac{0.4771}{3×0.4771+2×0.3010 - 2}\approx14.3$，
故约经过$15$年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的$3$倍或以上.

[例3] 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在 50 万元到 500 万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金$y$(单位：万元)随年产值$x$(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于 7 万元，同时奖金不超过年产值的 15％.
(1)若某企业产值 100 万元，核定可得 9 万元奖金，试分析函数$y=\lg x +kx +5$($k$为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知$\lg 2 \approx 0.3, \lg 5 \approx 0.7$).
(2)若采用函数$f(x)=\frac{15x-a}{x+8}$作为奖励函数模型，试确定最小的正整数$a$的值.

答案： [例3 [解]
(1)对于函数模型$y = \lg x+kx + 5(k$为常数)，
当$x = 100$时，$y = 9$，
代入解得$k=\frac{1}{50}$，所以$y = \lg x+\frac{x}{50}+5$.
当$x\in[50,500]$时，
$y = \lg x+\frac{x}{50}+5$单调递增，
但当$x = 50$时，$y=\lg50 + 6＞7.5 = 50×15\%$，
故奖金不超过年产值的$15\%$不成立，
故该函数模型不符合要求.
(2)对于函数模型
$f(x)=\frac{15x - a}{x + 8}=15-\frac{120 + a}{x + 8}$，
$a$为正整数，函数在$[50,500]$上单调递增，
$f(x)_{\min}=f(50)\geqslant7$，解得$a\leqslant344$；
要使$f(x)\leqslant0.15x$对$x\in[50,500]$恒成立，
故$a\geqslant - 0.15x^{2}+13.8x$对$x\in[50,500]$恒成立.
又$t = - 0.15x^{2}+13.8x$在$[50,500]$上单调递减，
所以$a\geqslant t_{\max}=-0.15×50^{2}+13.8×50 = 315$.
综上所述，$315\leqslant a\leqslant344$，
所以满足条件的最小的正整数$a$的值为$315$.