《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若 $n ＜ m ＜ 0$，则 $\sqrt{m^2 + 2mn + n^2} - \sqrt{m^2 - 2mn + n^2}$ 等于 (C)

A.$2m$
B.$2n$
C.$-2m$
D.$-2n$

答案： 1.C 解析：$\sqrt{m^2 + 2mn + n^2} - \sqrt{m^2 - 2mn + n^2}$
=$\sqrt{(m + n)^2} - \sqrt{(m - n)^2} = |m + n| - |m - n|$.
$\because n ＜ m ＜ 0$,$\therefore m + n ＜ 0$,$m - n ＞ 0$,
$\therefore$原式=$-(m + n) - (m - n) = -m - n - m + n = -2m$.

二、分数指数幂
【知识梳理】
根式与分数指数幂的互化
(1) 规定正数的正分数指数幂的意义是：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} (a ＞ 0, m, n \in \mathbf{N}^*$，且 $n ＞ 1)$；
(2) 规定正数的负分数指数幂的意义是：$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} (a ＞ 0, m, n \in \mathbf{N}^*$，且 $n ＞ 1)$；
(3) $0$ 的正分数指数幂等于0，$0$ 的负分数指数幂没有意义.
(4) 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
① $a^r a^s = a^{r + s} (a ＞ 0, r, s \in \mathbf{Q})$；
② $(a^r)^s = a^{rs} (a ＞ 0, r, s \in \mathbf{Q})$；
③ $(ab)^r = a^r b^r (a ＞ 0, b ＞ 0, r \in \mathbf{Q})$.
拓展：① $\frac{a^r}{a^s} = a^{r - s} (a ＞ 0, r, s \in \mathbf{Q})$.
② $(\frac{a}{b})^r = \frac{a^r}{b^r} (a ＞ 0, b ＞ 0, r \in \mathbf{Q})$.

答案： 二、
(3)0 没有意义

[例2] 用根式或分数指数幂表示下列各式：
(1) $a^{\frac{1}{5}}$; (2) $a^{\frac{3}{4}} (a ＞ 0)$;
(3) $\sqrt[5]{a^6}$; (4) $\frac{1}{\sqrt{a^3}} (a ＞ 0)$.

答案： [解]
(1)$a^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{a}$.
(2)$a^{\frac{1}{3}}(a ＞ 0) = \sqrt[3]{a^3}$.
(3)$\sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$.
(4)$\frac{1}{\sqrt[3]{a^5}}(a ＞ 0) = \frac{1}{a^{\frac{5}{3}}} = a^{-\frac{5}{3}}$.

2. 用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）：
(1) $\sqrt[5]{a^6}$; (2) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$.

答案： 2.解：
(1)$\sqrt[5]{a^6} = a^{\frac{6}{5}}$.
(2)$\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = a^{-\frac{2}{3}}$.

[例3] (1) $\frac{(a^{\frac{2}{3}} b^{-1})^{-\frac{1}{2}} a^{-\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[6]{a b^5}} =$$\frac{1}{a}$.(式中字母均是正数)
(2) 计算：$\sqrt{\frac{25}{9}} - (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} - (\pi - 3)^0 + (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} =$2.

答案： [解析]
(1)原式=$a^{\frac{1}{3}} × (-\frac{1}{3}) · b^{\frac{1}{3}} · a^{-\frac{1}{3}} · b^{\frac{1}{3}}$
=$\frac{a^{-\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} · b^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} · b^{\frac{1}{3}}}$
=$\frac{a^{-\frac{2}{3}} · b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} · b^{\frac{1}{3}}}$
=$a^{-\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} = a^{-1} = \frac{1}{a}$
(2)原式=$\frac{5}{3} - \frac{2}{3} - 1 + 2 = 2$.
[答案]
(1)$\frac{1}{a}$
(2)2