《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 三个变量 $ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $，$ y _ { 3 } $ 随着变量 $ x $ 的变化情况如表：

则与 $ x $ 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(C)

A.$ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $，$ y _ { 3 } $
B.$ y _ { 2 } $，$ y _ { 1 } $，$ y _ { 3 } $
C.$ y _ { 3 } $，$ y _ { 2 } $，$ y _ { 1 } $
D.$ y _ { 3 } $，$ y _ { 1 } $，$ y _ { 2 } $

答案： 1.C解析:由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，$y_1$是幂函数，$y_2$是指数函数，$y_3$是对数函数.

二、函数增长速度的比较
[例 2] (多选) 如图，能使得不等式 $ \log _ { 2 } x ＜ x ^ { 2 } ＜ 2 ^ { x } $ 成立的 $ x $ 的取值范围是(BC)


A.$ x ＞ 2 $
B.$ x ＞ 4 $
C.$ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ 2 ＜ x ＜ 4 $

答案： 例2 BC　[解析]　结合图象可知，当$x \in (0,2) \cup (4,+\infty)$时，有$\log_{2}x ＜ x^{2} ＜ 2^{x}$.

[例 3] 已知函数 $ f ( x ) = \ln x $，$ g ( x ) = 0.5 x - 1 $ 的图象如图所示.

(1) 指出图中曲线 $ C _ { 1 } $，$ C _ { 2 } $ 分别对应哪一个函数；
(2) 借助图象，比较 $ f ( x ) $ 和 $ g ( x ) $ 的大小.

答案： 例3　[解]　
(1)$C_1$对应的函数为$g(x)=0.5x - 1$，$C_2$对应的函数为$f(x)=\ln x$.
(2)当$x \in (0,x_1)$时，$g(x)＞f(x)$；
　当$x \in (x_1,x_2)$时，$g(x)＜f(x)$；
　当$x \in (x_2,+\infty)$时，$g(x)＞f(x)$；
　当$x = x_1$或$x_2$时，$g(x)=f(x)$.
综上,当$x = x_1$或$x_2$时，$g(x)=f(x)$；
　当$x \in (x_1,x_2)$时，$g(x)＜f(x)$；
　当$x \in (0,x_1)$或$(x_2,+\infty)$时，$g(x)＞f(x)$.

2. 函数 $ f ( x ) = 2 ^ { x } $ 和 $ g ( x ) = 2 x $ 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $，$ B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $，且 $ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $.

(1) 请指出图中曲线 $ C _ { 1 } $，$ C _ { 2 } $ 分别对应的函数；
(2) 结合函数图象，判断 $ f \left( \dfrac { 3 } { 2 } \right) $ 与 $ g \left( \dfrac { 3 } { 2 } \right) $，$ f ( 2024 ) $ 与 $ g ( 2024 ) $ 的大小.

答案： 2.解:
(1)$C_1$对应的函数为$g(x)=2x$，$C_2$对应的函数为$f(x)=2^{x}$.
(2)$\because f(1)=g(1),f(2)=g(2)$，
　从图象上可以看出，当$1 ＜ x ＜ 2$时，$f(x)＜g(x)$，
　$\therefore f(\frac{3}{2})＜g(\frac{3}{2})$；
　当$x＞2$时，$f(x)＞g(x)$，
　$\therefore f(2024)＞g(2024)$.

[例 4] 直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型营销模式. 据统计，某职业主播的粉丝量不低于 2 万人时，其货物销售利润 $ y $（单位：万元）随粉丝量 $ x $（单位：万人）的变化情况如下表所示：

(1) 根据表中数据，分别用模型 $ y = \log _ { a } ( x + m ) + b $ 和 $ y = c \sqrt { x + n } + d $ 建立 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式；
(2) 已知该主播的粉丝量为 9 万人时，货物销售利润为 3.3 万元，你认为 (1) 中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：$ \sqrt { 57 } \approx 7.55 $）

答案： 例4 [解]　
(1)若选用$y = \log_{a}(x + m)+b$，
　则依题意得$\begin{cases} \log_{a}(2 + m)+b = \frac{1}{4} \\ \log_{a}(3 + m)+b = \frac{5}{4} \\ \log_{a}(5 + m)+b = \frac{9}{4} \end{cases}$，
　解得$a = 2,m = -1,b = \frac{1}{4}$，
　所以$y = \log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}(x \geq 2)$.
　若选用函数$y = c\sqrt{x + n}+d$，
　则依题意得$\begin{cases} c\sqrt{2 + n}+d = \frac{1}{4} \\ c\sqrt{3 + n}+d = \frac{5}{4} \\ c\sqrt{5 + n}+d = \frac{9}{4} \end{cases}$，
　解得$c = \sqrt{2},n = -\frac{15}{8},d = -\frac{1}{4}$，
　所以$y = \sqrt{2x - \frac{15}{4}} - \frac{1}{4}(x \geq 2)$.
(2)对于函数$y = \log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}$，
　当$x = 9$时，$y = \frac{13}{4} = 3.25$（万元）.
　对于函数$y = \sqrt{2x - \frac{15}{4}} - \frac{1}{4}$，
　当$x = 9$时，$y = \frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{1}{4}$（万元）.
　因为$|\frac{\sqrt{57}}{2} - \frac{1}{4} - 3.3| \approx 0.225 ＞ |3.25 - 3.3| = 0.05$，
　所以选用$y = \log_{2}(x - 1)+\frac{1}{4}(x \geq 2)$模型更合理.