《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例1] 求下列函数的周期：
(1)$y = \sin 4x,x\in\mathbf{R}$；
(2)$y = 1 - 2\cos(\frac{\pi}{2}x),x\in\mathbf{R}$；
(3)$y = |\sin x|,x\in\mathbf{R}$；
(4)$y = \sin(\frac{1}{3}x - \frac{\pi}{4}),x\in\mathbf{R}$.
[课堂笔记]

答案：
[解]
(1)$\because \sin \left[4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right]=\sin(4x + 2\pi)=\sin4x$,
$\therefore$ 函数 $y = \sin4x,x\in \mathbf{R}$ 的周期为 $\frac{\pi}{2}$.
(2)$\because 1 - 2\cos\left[\frac{\pi}{2}(x + 4)\right]=1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x+2\pi\right)=1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$,
$\therefore$ 自变量 $x$ 只需并且至少要增加到 $x + 4$，函数 $y = 1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right),x\in \mathbf{R}$ 的值才能重复出现，
$\therefore$ 函数 $y = 1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right),x\in \mathbf{R}$ 的周期是 $4$.
(3)作图如图所示.

观察图象可知最小正周期为 $\pi$.
(4) 因为 $\sin\left[\frac{1}{3}(x + 6\pi)-\frac{\pi}{4}\right]=\sin\left(\frac{1}{3}x + 2\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4}\right)$，由周期函数的定义知，$y = \sin\left(\frac{1}{3}x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的周期为 $6\pi$.

跟踪训练 1. 求下列三角函数的最小正周期：
(1)$y = |\cos x|$；
(2)$y = \cos\pi x$；
(3)$y = 3\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4})$；
(4)$y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{4})$.

答案： 解：
(1)$f(x)=|\cos x|,f(x+\pi)=|\cos(x+\pi)|=|\cos x|=f(x)$,
得 $y = |\cos x|$ 的最小正周期为 $\pi$（或通过图象判断）.
(2)由 $y = \cos\pi x$，得 $T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{\pi}=2$.
(3)由 $y = 3\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}\right)$，得 $T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$.
(4)由 $y = 2\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$，得 $T=\frac{2\pi}{|\omega|}=\frac{2\pi}{2}=\pi$.

二、正弦函数、余弦函数的奇偶性
【知识梳理】
正弦、余弦函数的奇偶性

答案： 奇 偶

[例2] 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x) = \sin(\frac{3}{4}x + \frac{3\pi}{2})$；
(2)$f(x) = |\sin x| + \cos x$；
(3)$f(x) = x^{2}\cos(x + \frac{\pi}{2})$.
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)$f(x)=\sin\left(\frac{3}{4}x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos\frac{3}{4}x,x\in \mathbf{R}$.
因为 $\forall x\in \mathbf{R}$，都有 $-x\in \mathbf{R}$，
又 $f(-x)=-\cos\left(-\frac{3}{4}x\right)=-\cos\frac{3}{4}x=f(x)$，
所以函数 $f(x)=\sin\left(\frac{3}{4}x+\frac{3\pi}{2}\right)$ 是偶函数.
(2)函数 $f(x)=|\sin x|+\cos x$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，
因为 $\forall x\in \mathbf{R}$，都有 $-x\in \mathbf{R}$，
又 $f(-x)=|\sin(-x)|+\cos(-x)=|\sin x|+\cos x=f(x)$，
所以函数 $f(x)=|\sin x|+\cos x$ 是偶函数.
(3)$f(x)=x^{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-x^{2}\sin x,x\in \mathbf{R}$，
因为 $\forall x\in \mathbf{R}$，都有 $-x\in \mathbf{R}$，
又 $f(-x)=-(-x)^{2}\sin(-x)=x^{2}\sin x=-f(x)$，
所以函数 $f(x)=x^{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ 为奇函数.