《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▶跟踪训练 2. 判断下列存在量词命题的真假.
(1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直;
(2)至少有一个整数$n$，使得$n^2 + n$为奇数;
(3)$\exists x \in \{y \mid y$是无理数$\}$, $x^2$是无理数.

答案： 跟踪训练 2.解：
(1)菱形的对角线互相垂直，真命题.
(2)$n^2 + n = n(n + 1)$，故$n$和$n + 1$必为一奇一偶，其乘积为偶数，假命题.
(3)当$x = \pi$时，$x^2$仍是无理数，真命题.

三、根据全称(存在)量词命题的真假求参数的值或范围
[例3] (1)已知对于任意的$x \in \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}$, 都有$m \geqslant x$, 求实数$m$的取值范围;
(2)已知存在实数$x \in \{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 3\}$, 使$m \geqslant x$, 求实数$m$的取值范围.

答案： 例3 [解]
(1)由于对任意的$x \in \{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$都有$m \geq x$，故只需$m$大于或等于$x$的最大值，即$m \geq 3$.故实数$m$的取值范围是$\{m \mid m \geq 3\}$.
(2)由于存在实数$x \in \{x \mid 1 \leq x \leq 3\}$，使$m \geq x$，故只需$m$大于或等于$x$的最小值，即$m \geq 1$.故实数$m$的取值范围是$\{m \mid m \geq 1\}$.

▶跟踪训练 3. 已知集合$A = \{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 5\}$, $B = \{x \mid m + 1 \leqslant x \leqslant 2m - 1\}$, 且$B \neq \varnothing$. 若命题$p$:“$\forall x \in B$, $x \in A$”是真命题，求$m$的取值范围.

答案： 跟踪训练 3.解：由于命题$p$：“$\forall x \in B, x \in A$”是真命题，所以$B \subseteq A$.因为$B \neq \varnothing$，
所以$\begin{cases}m + 1 \leq 2m - 1, \\m + 1 \geq -2, \\2m - 1 \leq 5,\end{cases}$
解得$2 \leq m \leq 3$.
故$m$的取值范围为$\{m \mid 2 \leq m \leq 3\}$.

1. 下列命题是“$\forall x \in \mathbf{R}$, $x^2 ＞ 3$”的另一种表述方法的是 (C)

A.有一个$x \in \mathbf{R}$, 使$x^2 ＞ 3$成立
B.对有些$x \in \mathbf{R}$, 使$x^2 ＞ 3$成立
C.任选一个$x \in \mathbf{R}$, 使$x^2 ＞ 3$成立
D.至少有一个$x \in \mathbf{R}$, 使$x^2 ＞ 3$成立

答案： 1 C 解析：“$\forall x \in R, x^2 ＞ 3$”是全称量词命题，改写时应使用全称量词.

2. (多选)下列命题中是真命题的是 (AB)

A.$\exists x \in \mathbf{R}$, $x^3 = 3$
B.$\exists x \in \mathbf{R}$, $3x + 1$是整数
C.$\forall x \in \mathbf{R}$, $|x| ＞ 3$
D.$\forall x \in \mathbf{Q}$, $x^2 \in \mathbf{Z}$

答案： 2 AB 解析：A是真命题，由$x^3 = 3$得$x = \sqrt[3]{3}$，所以选项A为真命题；B是真命题，当$x = 1$时，$3x + 1 = 4$，是整数；C是假命题，如$x = 2$时，$|x| ＜ 3$；D是假命题，如$x = \frac{1}{2}, x^2 \notin \mathbf{Z}$.

3. 能够说明“存在两个不相等的正数$a$, $b$, 使得$a - b = ab$是真命题”的一组有序数对$(a, b)$为$(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$(答案不唯一).

答案： 3 解析：由题意可知，$(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{1}{4}, \frac{1}{5})$等都符合题意.
答案：$(\frac{1}{2}, \frac{1}{3})$(答案不唯一)

4. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：
(1)存在一个实数，使等式$x^2 + 2x - 3 = 0$成立;
(2)每个二次函数的图象都与$x$轴相交.

答案： 4 解：
(1)存在量词命题.因为$x^2 + 2x - 3 = 0$，
所以$x_1 = -3, x_2 = 1$，即存在$-3$或$1$，使等式$x^2 + 2x - 3 = 0$成立.
所以该命题为真命题.
(2)全称量词命题.如函数$y = x^2 + 1$的图象与$x$轴不相交，所以该命题为假命题.