《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2.解下列不等式：
(1)$x^2-5x - 6＞0$；
(2)$(2 - x)(x + 3)＜0$.

答案： 跟踪训练
2.解:
(1)方程$x^{2}-5x-6=0$的两根为$x_{1}=-1$，$x_{2}=6$.
结合二次函数$y=x^{2}-5x-6$的图象知，原不等式的解集为$\{x|x＜-1$，或$x＞6\}$.
(2)原不等式可化为$(x - 2)(x + 3)＞0$，
方程$(x - 2)(x + 3)=0$的两根为$x_{1}=2$，$x_{2}=-3$.
结合二次函数$y=(x - 2)(x + 3)$的图象知，原不等式的解集为$\{x|x＜-3$，或$x＞2\}$.

[例3] 解关于$x$的不等式$ax^2-2\geq2x-ax(x\in\mathbf{R},a\geq0)$.

答案： 例3　[解]　原不等式可化为$ax^{2}+(a - 2)x - 2\geq0$.
①当$a = 0$时，原不等式化为$x + 1\leq0$，解得$x\leq-1$.
②当$a＞0$时，原不等式化为$(x-\frac{2}{a})(x + 1)\geq0$，
解得$x\geq\frac{2}{a}$或$x\leq-1$.
综上所述，当$a = 0$时，不等式的解集为$\{x|x\leq-1\}$；
当$a＞0$时，不等式的解集为$\{x|x\geq\frac{2}{a}$，或$x\leq-1\}$.

变式训练 若把[例3]中的“$a\geq0$”改为“$a＜0$”，求该不等式的解集.

答案： 变式训练
解：当$a＜0$时，原不等式化为$(x-\frac{2}{a})(x + 1)\leq0$.
当$\frac{2}{a}＞-1$，即$a＜-2$时，解得$-1\leq x\leq\frac{2}{a}$；
当$\frac{2}{a}=-1$，即$a=-2$时，解得$x=-1$；
当$\frac{2}{a}＜-1$，即$-2＜a＜0$时，解得$\frac{2}{a}\leq x\leq-1$.
综上所述，当$-2＜a＜0$时，不等式的解集为$\{x|\frac{2}{a}\leq x\leq-1\}$；
当$a=-2$时，解集为$\{x|x=-1\}$；
当$a＜-2$时，解集为$\{x|-1\leq x\leq\frac{2}{a}\}$.

1.不等式$\frac{2 - x}{x + 1}\geq0$的解集为 (B)

A.$\{x|0＜x\leq2\}$
B.$\{x|-1＜x\leq2\}$
C.$\{x|x＞-1\}$
D.$\mathbf{R}$

答案： 1.B 解析：$\frac{2-x}{x + 1}\geq0\Rightarrow(x + 1)(x - 2)＜0$或$x = 2$，解得$-1＜x\leq2$.

2.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(AD)

A.$x^2+\sqrt{2}x＜-1$
B.$x^2+\sqrt{x}+1＜0$
C.$x^2+\frac{3}{x}+1＜0$
D.$x^2+1＜0$

答案： 2.AD 解析：由于$x^{2}+\sqrt{x}+1＜0$，$x^{2}+\frac{3}{x}+1＜0$不符合一元二次不等式的定义，只有$x^{2}+\sqrt{2}x＜-1$，$x^{2}+1＜0$是一元二次不等式.

3.若$0＜m＜1$，则不等式$(x - m)(x-\frac{1}{m})＜0$的解集为$\{x|m＜x＜\frac{1}{m}\}$.

答案： 3.解析：$\because0＜m＜1$，$\therefore\frac{1}{m}＞1＞m$，故原不等式的解集为$\{x|m＜x＜\frac{1}{m}\}$.
答案：$\{x|m＜x＜\frac{1}{m}\}$

4.解下列不等式：
(1)$x(7 - x)\geq12$；
(2)$x^2＞2(x - 1)$.

答案： 4.解：
(1)原不等式可化为$x^{2}-7x + 12\leq0$.
因为方程$x^{2}-7x + 12=0$的两根为$x_{1}=3$，$x_{2}=4$，
所以原不等式的解集为$\{x|3\leq x\leq4\}$.
(2)原不等式可以化为$x^{2}-2x + 2＞0$，
因为判别式$\Delta=4 - 8=-4＜0$，
所以方程$x^{2}-2x + 2=0$无实数根.
又函数$y=x^{2}-2x + 2$的图象开口向上，
所以原不等式的解集为$\mathbf{R}$.