《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] (1)(高考真题)设集合$A = \{ 0, -a \}$，$B = \{ 1, a - 2, 2a - 2 \}$.若$A \subseteq B$，则$a =$ (B)
A. 2
B. 1
C. $\frac{2}{3}$
D. -1
(2)(高考真题)已知集合$A = \{ (x, y) \mid x, y \in \mathbf{N}^*, y \geqslant x \}$，$B = \{ (x, y) \mid x + y = 8 \}$，则$A \cap B$中元素的个数为 (C)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

答案：
(1)B　
(2)C　[解析]　
(1)若a−2=0，则a=2，此时A={0，−2}，B={1,0,2}，不满足A⊆B；若2a−2=0，则a=1，此时A={0，−1}，B={1，−1,0}，满足A⊆B。
(2)A∩B={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素。

[例 2] (1)(高考真题)已知集合$S = \{ s \mid s = 2n + 1, n \in \mathbf{Z} \}$，$T = \{ t \mid t = 4n + 1, n \in \mathbf{Z} \}$，则$S \cap T =$ (C)
A. $\varnothing$
B. $S$
C. $T$
D. $\mathbf{Z}$
(2)(高考真题)设集合$U = \mathbf{R}$，集合$M = \{ x \mid x ＜ 1 \}$，$N = \{ x \mid -1 ＜ x ＜ 2 \}$，则$\{ x \mid x \geqslant 2 \} =$ (A)
A. $\complement_U (M \cup N)$
B. $N \cup \complement_U M$
C. $\complement_U (M \cap N)$
D. $M \cup \complement_U N$

答案：
(1)C　
(2)A　[解析]　
(1)法一：在集合T中，令n=k(k∈Z)，则t=4n+1=2(2k)+1(k∈Z)，而集合S中，s=2n+1(n∈Z)，因为k∈Z，2k表示所有偶数，n表示所有整数，所以必有T⊆S，所以T∩S=T，所以C正确。
　法二：S={…，−3，−1,1,3，5，…}，T={…，−3,1，5,...}，观察可知，T⊆S，所以T∩S=T，所以C正确。
(2)M∪N={x|x＜2}，故∁U(M∪N)={x|x≥2}。

[例 3] (1)(高考真题)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有$96\%$的学生喜欢足球或游泳，$60\%$的学生喜欢足球，$82\%$的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 (C)
A. 62%
B. 56%
C. 46%
D. 42%
(2)(高考真题)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (C)
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8

答案：
(1)C　
(2)C　[解析]　
(1)假设学生总数是100，则喜欢足球的有60人，喜欢游泳的有82人，喜欢足球或游泳的有96人，则既喜欢足球又喜欢游泳的有60+82−96=46(人)，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%。
(2)由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90−80+60=70，
　则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100=0.7。