《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

三、用不等式的性质求代数式的取值范围
[例 3] 已知$30 ＜ x ＜ 42$, $16 ＜ y ＜ 24$, 分别求$x + y, x - 3y$及$\frac{x}{x - 3y}$的取值范围.
[课堂笔记]

答案： 例3 [解] 因为$30 ＜ x ＜ 42$，$16 ＜ y ＜ 24$，
所以$30 + 16 ＜ x + y ＜ 42 + 24$，
故$46 ＜ x + y ＜ 66$.
又$30 ＜ x ＜ 42$，$-72 ＜ -3y ＜ -48$，
所以$30 - 72 ＜ x - 3y ＜ 42 - 48$，
故$-42 ＜ x - 3y ＜ -6$.
又$30 ＜ x ＜ 42$，$-42 ＜ x - 3y ＜ -6$，
所以$-\frac{1}{6} ＜ \frac{1}{x - 3y} ＜ -\frac{1}{42}$，
所以$0 ＜ \frac{1}{42} ＜ \frac{1}{x - 3y} ＜ \frac{1}{6}$，
所以$\frac{30}{42} ＜ \frac{x}{x - 3y} ＜ \frac{42}{6}$，
故$-\frac{42}{6} ＜ \frac{x}{x - 3y} ＜ \frac{30}{42}$，
得$-7 ＜ \frac{x}{x - 3y} ＜ \frac{5}{7}$.

2. 已知$1 ＜ a ＜ 2$, $3 ＜ b ＜ 4$, 求下列各式的取值范围:
(1) $2a + b$;
(2) $a - b$;
(3) $\frac{a}{b}$.

答案： 2.解:
(1)$\because 1 ＜ a ＜ 2$，$\therefore 2 ＜ 2a ＜ 4$.
又$3 ＜ b ＜ 4$，$\therefore 5 ＜ 2a + b ＜ 8$.
(2)$\because 3 ＜ b ＜ 4$，$\therefore -4 ＜ -b ＜ -3$.
又$\because 1 ＜ a ＜ 2$，$\therefore -3 ＜ a - b ＜ -1$.
(3)$\because 3 ＜ b ＜ 4$，$\therefore \frac{1}{4} ＜ \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{3}$.
又$\because 1 ＜ a ＜ 2$，$\therefore \frac{1}{4} ＜ \frac{a}{b} ＜ \frac{2}{3}$.

1. 与$a ＞ b$等价的不等式是 (D)

A.$|a| ＞ |b|$
B.$a^2 ＞ b^2$
C.$\frac{a}{b} ＞ 1$
D.$a^3 ＞ b^3$

答案： 1.D 解析:可利用赋值法.令$a = 1$，$b = -2$，满足$a ＞ b$，但$|a| ＜ |b|$，$a^2 ＜ b^2$，$\frac{a}{b} = -\frac{1}{2} ＜ 1$，故A，B，C都不正确.

2. 已知$a, b, c \in R$, 则下列命题正确的是 (C)

A.$a ＞ b \Rightarrow ac^2 ＞ bc^2$
B.$\frac{a}{c} ＞ \frac{b}{c} \Rightarrow a ＞ b$
C.$ab ＜ 0 \Rightarrow \frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$
D.$a ＞ b ＞ 0 \Rightarrow \frac{1}{a^2} ＞ \frac{1}{b^2}$

答案： 2.C 解析:当$c = 0$时，A不成立；当$c ＜ 0$时，B不成立；$ab ＜ 0$，$a ＞ b \Rightarrow \frac{a}{ab} ＜ \frac{b}{ab}$，即$\frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$，C成立；当$a ＞ b ＞ 0$时，$\frac{1}{a^2} ＜ \frac{1}{b^2}$，D不成立.

3. 若$2 ＜ a ＜ 5$, $3 ＜ b ＜ 10$, 则$a - 2b$的取值范围为 $\{a - 2b\mid -18 ＜ a - 2b ＜ -1\}$.

答案： 3.解析:由$3 ＜ b ＜ 10$，得$-20 ＜ -2b ＜ -6$.
又因为$2 ＜ a ＜ 5$，所以$-18 ＜ a - 2b ＜ -1$
答案：$\{a - 2b\mid -18 ＜ a - 2b ＜ -1\}$