《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 下列函数中，周期为$\frac{\pi}{2}$的是 (D)

A.$y = \sin\frac{x}{2}$
B.$y = \sin 2x$
C.$y = \cos\frac{x}{4}$
D.$y = \cos(-4x)$

答案： D 解析：$y = \cos(-4x)=\cos4x,\therefore$ 最小正周期 $T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$.

2. 设函数$f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2}),x\in\mathbf{R}$，则$f(x)$是

A.最小正周期为$\pi$的奇函数
B.最小正周期为$\pi$的偶函数
C.最小正周期为$\frac{\pi}{2}$的奇函数
D.最小正周期为$\frac{\pi}{2}$的偶函数

答案： B 解析：$\because f(x)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=-\cos2x,x\in \mathbf{R}$，又 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，且 $f(-x)=-\cos(-2x)=-\cos2x=f(x)$，
$\therefore f(x)$ 是最小正周期为 $\pi$ 的偶函数.

3. 函数$f(x) = \frac{1}{2}\sin(\omega x - \frac{\pi}{2})(\omega\neq0)$，则$f(x)$是偶函数(填“奇函数”或“偶函数”). 若$f(x)$的周期为$\pi$，则$\omega =$$\pm2$.

答案： 解析：$f(x)=\frac{1}{2}\sin(\omega x-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}\cos\omega x$，
$\therefore f(-x)=-\frac{1}{2}\cos(-\omega x)=-\frac{1}{2}\cos\omega x=f(x)$，
$\therefore f(x)$ 为偶函数.
又 $T=\pi,\therefore\frac{2\pi}{|\omega|}=\pi,\therefore\omega=\pm2$.
答案：偶函数 $\pm2$

4. 已知$f(x)$为奇函数，且周期为$\frac{3\pi}{4}$. 若$f(\frac{\pi}{4}) = -1$，则$f(\frac{23\pi}{4}) =$1.

答案： 解析：$\because T=\frac{3\pi}{4}$，又 $f(x)$ 为奇函数，
$\therefore f\left(\frac{23\pi}{4}\right)=f\left(8×\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)=f\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
$=-f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-(-1)=1$.
答案：1

一、正弦、余弦函数的单调性
【知识梳理】
1. 正弦函数的单调性
在每一个闭区间$[2kπ - \frac{π}{2}, 2kπ + \frac{π}{2}](k ∈ Z)$上都单调递增，其值从$-1$增大到$1$；在每一个闭区间$[2kπ + \frac{π}{2}, 2kπ + \frac{3π}{2}](k ∈ Z)$上都单调递减，其值从$1$减小到$-1$.
2. 余弦函数的单调性
在每一个闭区间$[2kπ - π, 2kπ](k ∈ Z)$上都单调递增，其值从$-1$增大到$1$；在每一个闭区间$[2kπ, 2kπ + π](k ∈ Z)$上都单调递减，其值从$1$减小到$-1$.
注意：
(1) 正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限.
(2) 正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间.

答案： 一、1.单调递增 单调递减 2.单调递增 单调递减

例 1
求函数$y = 2\sin(x - \frac{π}{3})$的单调递增区间.

答案： 例1 [解] 令$z = x - \frac{\pi}{3}$，则$y = 2\sin z$。
$\because z = x - \frac{\pi}{3}$是增函数，$\therefore y = 2\sin z$单调递增时，
函数$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$单调递增，
由$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq z = x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z}$，
得$2k\pi - \frac{\pi}{6} \leq x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{6},k \in \mathbf{Z}$，故函数$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$的单调递增区间是$[2k\pi - \frac{\pi}{6},2k\pi + \frac{5\pi}{6}](k \in \mathbf{Z})$。

变式训练
(1) 本例中，若$x ∈ [0, 2π]$，试求函数的单调递增区间.
(2) 求函数$y = \sin(\frac{π}{3} - x)$的单调递增区间.

答案： 变式训练
解：
(1)由例题知，$f(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$的单调递增区间为
$[2k\pi - \frac{\pi}{6},2k\pi + \frac{5\pi}{6}](k \in \mathbf{Z})$。又$x \in [0,2\pi]$，$\therefore 0 \leq x \leq \frac{5\pi}{6}$或$\frac{11\pi}{6} \leq x \leq 2\pi$，$\therefore$函数$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$，$x \in [0,2\pi]$的单调递增区间为
$[0,\frac{5\pi}{6}]$和$[\frac{11\pi}{6},2\pi]$。
(2)$y = \sin(\frac{\pi}{3} - x) = - \sin(x - \frac{\pi}{3})$，令$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x - \frac{\pi}{3} \leq \frac{3\pi}{2} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，得$\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$，$\therefore$函数$y = \sin(\frac{\pi}{3} - x)$
的单调递增区间为$[\frac{5\pi}{6} + 2k\pi,\frac{11\pi}{6} + 2k\pi](k \in \mathbf{Z})$。