《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若集合 $ A = \{ x | - 1 \leq x ＜ 1 \} $, 当 $ S $ 分别取下列集合时,求 $ \complement_S A $.
(1) $ S = \mathbf{R} $; (2) $ S = \{ x | x \leq 2 \} $;
(3) $ S = \{ x | - 4 \leq x \leq 1 \} $.

答案：
1.解:
(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.
　　　　　　　　　
由图知∁SA={x|x＜-1,或x≥1}.
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示.
　　　　　　　　　　
由图知∁SA={x|x＜-1,或1≤x≤2}.
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示
　　　　　　　　　
由图知∁SA={x|-4≤x＜-1,或x=1}.

[例 2]
(1) (高考真题) 设全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} $, 集合 $ M = \{ 1, 4 \} $, $ N = \{ 2, 5 \} $, 则 $ N \cup \complement_U M = $ (A)
A. $ \{ 2, 3, 5 \} $
B. $ \{ 1, 3, 4 \} $
C. $ \{ 1, 2, 4, 5 \} $
D. $ \{ 2, 3, 4, 5 \} $
(2) (高考真题) 设全集 $ U = \{ - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 \} $, 集合 $ A = \{ - 1, 2 \} $, $ B = \{ x | x^2 - 4x + 3 = 0 \} $, 则 $ \complement_U ( A \cup B ) = $ (D)
A. $ \{ 1, 3 \} $
B. $ \{ 0, 3 \} $
C. $ \{ - 2, 1 \} $
D. $ \{ - 2, 0 \} $

答案： 例2　
(1)A　
(2)D[解析]　
(1)因为U={1,2,3,4,5},M={1,4},所以∁UM={2,3,5},所以N∪∁UM={2,3,5}.
(2)因为B={x|x²-4x+3=0}={1,3},
所以A∪B={-1,1,2,3},
所以∁U(A∪B)={-2,0}.

2. 已知全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} $, 集合 $ A = \{ 2, 3, 5, 6 \} $, 集合 $ B = \{ 1, 3, 4, 6, 7 \} $, 则集合 $ A \cap ( \complement_U B ) = $ (A)

A.$ \{ 2, 5 \} $
B.$ \{ 3, 6 \} $
C.$ \{ 2, 5, 6 \} $
D.$ \{ 2, 3, 5, 6, 8 \} $

答案： 2.A　解析:因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7},所以∁UB ={2,5,8}.
又A={2,3,5,6},所以A∩(∁UB)={2,5}.

3. 已知集合 $ S = \{ x | 1 ＜ x \leq 7 \} $, $ A = \{ x | 2 \leq x ＜ 5 \} $, $ B = \{ x | 3 \leq x ＜ 7 \} $. 求:
(1) $ ( \complement_S A ) \cap ( \complement_S B ) $; (2) $ \complement_S ( A \cap B ) $.

答案：
3.解:如图所示，

　可得A∩B={x|3≤x＜5},
∁SA={x|1＜x＜2,或5≤x≤7},
∁SB={x|1＜x＜3,或x=7}.
由此可得
(1)(∁SA)∩(∁SB)={x|1＜x＜2,或x=7}.
(2)∁S(A∩B)={x|1＜x＜3,或5≤x≤7}.

[例 3]
已知全集 $ U = \mathbf{R} $, 集合 $ A = \{ x | x \leq - 2 $, 或 $ x \geq 3 \} $, $ B = \{ x | 2m + 1 ＜ x ＜ m + 7 \} $. 若 $ ( \complement_U A ) \cap B = B $, 求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： [解]　因为A={x|x≤-2,或x≥3},
所以∁UA={x|-2＜x＜3}.
因为(∁UA)∩B=B,
所以B⊆(∁UA).
当B=∅时,即2m+1≥m+7,
所以m≥6,满足(∁UA)∩B=B.
当B≠∅时，
则2m+1＜m+7,2m+1≥-2,m+7≤3,
无解.
故实数m的取值范围是{m|m≥6}.

4. 设集合 $ A = \{ x | x + m \geq 0 \} $, $ B = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 4 \} $, 全集 $ U = \mathbf{R} $, 且 $ ( \complement_U A ) \cap B = \varnothing $, 求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 4.解:由已知A={x|x≥-m},
得∁UA={x|x＜-m}.
因为B={x|-2＜x＜4},(∁UA)∩B=∅,画出数轴如图所示，
所以-m≤-2,即m≥2,
所以m的取值范围为{m|m≥2}.