《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4 \} $, 集合 $ M = \{ 1, 2 \} $, $ N = \{ 2, 3 \} $, 则 $ \complement_U ( M \cup N ) = $ (D)

A.$ \{ 1, 2, 3 \} $
B.$ \{ 2 \} $
C.$ \{ 1, 3, 4 \} $
D.$ \{ 4 \} $

答案： 1.D解析:
∵全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},
∴M∪N={1,2,3},
∴∁U(M∪N)={4}.

2. (高考真题) 设全集 $ U = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} $, 集合 $ M $ 满足 $ \complement_U M = \{ 1, 3 \} $, 则 (A)

A.$ 2 \in M $
B.$ 3 \in M $
C.$ 4 \notin M $
D.$ 5 \notin M $

答案： 2.A　解析:由题意知M={2,4,5}.

3. 已知全集 $ U = \mathbf{R} $, 集合 $ A = \{ x | x \leq 5 \} $, $ B = \{ x | x ＞ 0 \} $, 则集合 $ \complement_U ( A \cap B ) = $ (D)

A.$ \{ x | x \leq 0 \} $
B.$ \{ x | x ＞ 5 \} $
C.$ \varnothing $
D.$ \{ x | x \leq 0 $, 或 $ x ＞ 5 \} $

答案： 3.D解析:由已知A∩B={x|0＜x≤5},故∁U(A∩B)={x|x≤0,或x＞5}.

4. 已知全集 $ U = \{ x | x \leq 4 \} $, 集合 $ A = \{ x | - 2 ＜ x ＜ 3 \} $, $ B = \{ x | - 3 \leq x \leq 2 \} $, 求 $ A \cap B $, $ ( \complement_U A ) \cup B $, $ A \cap ( \complement_U B ) $.

答案：
4.解:如图，在数轴上表示集合A，B，U.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∵A={x|-2＜x＜3},B={x|-3≤x≤2},U={x|x≤4},
∴A∩B={x|-2＜x≤2},∁UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},
∁UB={x|x＜-3,或2＜x≤4}.
∴(∁UA)∪B={x|x≤2,或3≤x≤4},A∩(∁UB)={x|2＜x＜3}.

一、充分条件与必要条件
【知识梳理】
充分条件与必要条件

答案： 一、→ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件

[例 1] (1)下列命题中，$p$是否为$q$的充分条件?
①$p:a + b = 0, q:a^2 + b^2 = 0$；
②$p:x = 1, q:x^2 - 4x + 3 = 0$；
③$p:m ＜ -1, q:x^2 - x - m = 0$无实数根.
(2)指出下列哪些命题中$q$是$p$的必要条件.
①$p:$一个四边形是矩形，$q:$四边形的对角线相等；
②$p:A \subseteq B, q:A \cap B = A$；
③$p:a ＞ b, q:ac ＞ bc$.

答案： 例1 [解]
(1)①
∵a=1,b=-1时,a+b=0，
但$a^{2}+b^{2}=2，$
∴$a+b=0\nRightarrow a^{2}+b^{2}=0，$
∴p不是q的充分条件.
②当x=1时$,x^{2}-4x+3=0，$
∴$x=1⇒x^{2}-4x+3=0，$
∴p是q的充分条件.
③由方程$x^{2}-x-m=0$无实数根，
得Δ=1+4m＜0,即m＜-\frac{1}{4}.
∵m＜-\frac{1}{4}\nRightarrow m＜-\frac{1}{4}（此处原书可能想表达推导逻辑，但表述不太完整规范，按原文识别），即p⇒q,
∴p是q的充分条件.
(2)①
∵p⇒q,
∴q是p的必要条件.
②p⇒q,q是p的必要条件.
③p⇏q,q不是p的必要条件.