《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 一元二次不等式$ax^{2}+bx+c＜0$的解集为$\mathbf{R}$的一个充要条件是(D)

A.$\begin{cases}a＞0,\\\Delta＞0\end{cases}$
B.$\begin{cases}a＞0,\\\Delta＜0\end{cases}$
C.$\begin{cases}a＜0,\\\Delta＞0\end{cases}$
D.$\begin{cases}a＜0,\\\Delta＜0\end{cases}$

答案： 1 D

2. 不等式$\frac {2-x} {x+1}＜1$的解集是(C)

A.$\{x\mid x＞1\}$
B.$\{x\mid -1＜x＜2\}$
C.$\{x\mid x＜-1,或x＞\frac {1} {2}\}$
D.$\{x\mid -1＜x＜\frac {1} {2}\}$

答案： 2 C 解析：$\frac{2-x}{x+1}＜1 \Leftrightarrow \frac{2-x}{x+1}-1＜0 \Leftrightarrow \frac{2x-1}{x+1} · (x+1)^{2}＞0 \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)＞0$，
$\therefore \left\{x \mid x＜-1,或x＞\frac{1}{2}\right\}$。

3. 若集合$A = \{x\mid ax^{2}-ax + 1＜0\} = \varnothing$，则实数$a$的取值集合是(D)

A.$\{a\mid0＜a＜4\}$
B.$\{a\mid0\leq a＜4\}$
C.$\{a\mid0＜a\leq4\}$
D.$\{a\mid0\leq a\leq4\}$

答案： 3 D 解析：当$a=0$时，适合题意；
当$a \neq 0$时，有$\begin{cases} a＞0, \\ \Delta=a^{2}-4a \leqslant 0, \end{cases}$
$\therefore 0＜a \leqslant 4$，故$\{a \mid 0 \leqslant a \leqslant 4\}$。

4. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯$15$元的价格销售，每天能卖出$30$盏. 若售价每提高$1$元，日销售量将减少$2$盏. 为了使这批台灯每天能获得$400$元以上的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？

答案： 4. 解：设每盏台灯售价$x$元，则$x \geqslant 15$，并且日销售收入为$x[30-2(x-15)]$元。
由题意知，当$x \geqslant 15$时，有$x[30-2(x-15)]＞400$，
解得$15 \leqslant x＜20$。
所以为了使这批台灯每天获得$400$元以上的销售收入，应当使这批台灯的销售价格（单位：元）控制在集合$\{x \mid 15 \leqslant x＜20\}$内。

一、在 R 上的恒成立问题
[例 1] 已知$\forall x \in \mathbf{R}$，不等式$k x^{2}+2 k x-(k+2)＜0$恒成立，求实数$k$的取值范围.
[课堂笔记]

答案： 当$k = 0$时，原不等式化为$-2 ＜ 0$，对$\forall x \in \mathbf{R}$恒成立，符合题意。
当$k \neq 0$时，不等式$kx^2 + 2kx - (k + 2) ＜ 0$为二次不等式。要使其对$\forall x \in \mathbf{R}$恒成立，需满足：
1. 二次项系数$k ＜ 0$（开口向下）；
2. 判别式$\Delta ＜ 0$（与$x$轴无交点）。
计算判别式$\Delta = (2k)^2 - 4k[-(k + 2)] = 4k^2 + 4k(k + 2) = 8k^2 + 8k$。
由$\Delta ＜ 0$得$8k^2 + 8k ＜ 0$，即$k(k + 1) ＜ 0$，解得$-1 ＜ k ＜ 0$。
综上，$k = 0$与$-1 ＜ k ＜ 0$取并集，得$-1 ＜ k \leq 0$。
结论：$k$的取值范围是$(-1, 0]$。

跟踪训练 1. 已知关于$x$的不等式$\left(m^{2}+4 m-5\right) x^{2}-4(m-1) x+3＞0$对一切实数$x$恒成立，求实数$m$的取值范围.

答案： 设$f(x)=\left(m^{2}+4m - 5\right)x^{2}-4(m - 1)x + 3$。
当$m^{2}+4m - 5 = 0$时：
$m^{2}+4m - 5=(m + 5)(m - 1)=0$，解得$m=-5$或$m = 1$。
当$m = 1$时，$f(x)=3\gt0$，对一切实数$x$恒成立，符合题意。
当$m=-5$时，$f(x)=24x + 3$，是一次函数，不满足对一切实数$x$恒大于$0$，舍去。
当$m^{2}+4m - 5\neq0$，即$m\neq1$且$m\neq - 5$时：
$\begin{cases}m^{2}+4m - 5\gt0\\\Delta =[-4(m - 1)]^{2}-12(m^{2}+4m - 5)\lt0\end{cases}$
由$m^{2}+4m - 5\gt0$，即$(m + 5)(m - 1)\gt0$，解得$m\lt - 5$或$m\gt1$。
由$\Delta =16(m - 1)^{2}-12(m^{2}+4m - 5)\lt0$，
展开得$16(m^{2}-2m + 1)-12m^{2}-48m + 60\lt0$，
即$16m^{2}-32m + 16-12m^{2}-48m + 60\lt0$，
$4m^{2}-80m + 76\lt0$，
$m^{2}-20m + 19\lt0$，
$(m - 1)(m - 19)\lt0$，
解得$1\lt m\lt19$。
综合两个不等式的解，取交集得$1\lt m\lt19$。
综合以上两种情况，实数$m$的取值范围是$1\leqslant m\lt19$。