《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 若$2^{x + 1}＜1$，则$x$的取值范围是 (D)

A.$(-1,1)$
B.$(-1,+∞)$
C.$(0,1)∪(1,+∞)$
D.$(-∞,-1)$

答案： 1.D解析：$\because2^{x + 1}＜1 = 2^{0}$，且$y = 2^{x}$是增函数，$\therefore x + 1＜0$，$\therefore x＜-1$.

2. $f(x) = 2^{|x|}$，$x \in \mathbf{R}$,那么$f(x)$是(B)

A.奇函数且在$(0,+∞)$上单调递增
B.偶函数且在$(0,+∞)$上单调递增
C.奇函数且在$(0,+∞)$上单调递减
D.偶函数且在$(0,+∞)$上单调递减

答案： 2.B解析：由$x\in R$且$f(-x)=f(x)$知，$f(x)$是偶函数.当$x＞0$时，
$f(x)=2^{\vert x\vert}$单调递增.

3. 填空(“$＜$”或“$＞$”).
(1)$(\frac{5}{6})^{-0.24}$＜$(\frac{5}{6})^{-\frac{1}{4}}$；
(2)$(0.8)^{-2}$＞$(\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}}$.

答案： 3.解析：
(1)$\because0＜\frac{5}{6}＜1$，$\therefore$函数$y = (\frac{5}{6})^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是减函数.
又$-0.24＞-\frac{1}{4}$，$\therefore(\frac{5}{6})^{-0.24}＜(\frac{5}{6})^{-\frac{1}{4}}$.
(2)$(0.8)^{-2}=(\frac{4}{5})^{-2}=(\frac{5}{4})^{2}$.
$\because$函数$y = (\frac{5}{4})^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，
$\therefore(\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}}＜(\frac{5}{4})^{2}$，即$(0.8)^{-2}＞(\frac{5}{4})^{-\frac{1}{2}}$.
答案：
(1)$＜$
(2)$＞$

一、对数的概念
【知识梳理】
对数的定义：一般地，如果$a^{x}=N(a＞0$，且$a\neq1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x = \log_aN$，其中$a$叫做对数的底数，$N$叫做真数.

注意：
(1)对数是由指数转化而来，则底数$a$、指数或对数$x$、幂或真数$N$的范围不变，只是位置和名称发生了变换.
(2)$log_{a}N$的读法：以$a$为底$N$的对数.

答案： 一、$x = \log_aN$ 底数 真数

[例1] 若对数式$\log_{(t - 2)}3$有意义，则实数$t$的取值范围是 (B)

A.$[2,+\infty)$
B.$(2,3)\cup(3,+\infty)$
C.$(-\infty,2)$
D.$(2,+\infty)$

答案： 例1 B [解析] 要使对数式$\log_{(t - 2)}3$有意义，
需$\begin{cases}t - 2 ＞ 0,\\t - 2 \neq 1.\end{cases}$
解得$t ＞ 2$，且$t \neq 3$。
所以实数$t$的取值范围是$(2,3) \cup (3, +\infty)$。

跟踪训练 1. 在$M = \log_{(x - 3)}(x + 1)$中，要使式子有意义，$x$的取值范围为 (B)

A.$(-\infty,3]$
B.$(3,4)\cup(4,+\infty)$
C.$(4,+\infty)$
D.$(3,4)$

答案： 跟踪训练
1.B 解析：由题意可得$\begin{cases}x + 1 ＞ 0,\\x - 3 ＞ 0,\\x - 3 \neq 1.\end{cases}$
解得$3 ＜ x ＜ 4$或$x ＞ 4$。
所以$x$的取值范围为$(3,4) \cup (4, +\infty)$。

二、对数与指数的互相转化
【知识梳理】
两类特殊对数
(1)以$10$为底的对数叫做常用对数，并把$\log_{10}N$记为$\lg N$.
(2)以无理数$ e=2.71828·s$为底的对数称为自然对数，并把$\log_{ e}N$记为$\ln N$.

答案： 二、
(1)$\lg N$
(2)$\ln N$

[例2] 将下列指数式与对数式互化：
(1)$\log_{2}16 = 4$；
(2)$\log_{\frac{1}{3}}27 = - 3$；
(3)$\ln10\approx2.303$；
(4)$4^{3}=64$；
(5)$3^{-2}=\frac{1}{9}$；
(6)$10^{-3}=0.001$.

答案： 例2 [解]
(1)$2^4 = 16$。
(2)$(\frac{1}{3})^{-3} = 27$。
(3)$e^{2.303} \approx 10$。
(4)$\log_464 = 3$。
(5)$\log_3\frac{1}{9} = -2$。
(6)$\lg 0.001 = -3$。