《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▏跟踪训练 2.(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(AC)

A.$\exists x \in \mathbf{R},x^{2} - x + \frac{1}{2} = 0$
B.所有的正方形都是矩形
C.$\exists x \in \mathbf{R},|x| + 2 \leq 0$
D.至少有一个实数$x$，使$x^{3} + 1 = 0$

答案： 跟踪训练
2.AC解析:命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，
故排除B选项.命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项A，
C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选A，C.

[例3] 命题“存在$x ＞ 1$，使得$2x + a ＜ 3$”是假命题，求实数$a$的取值范围.

答案： 例3[解]命题“存在$x ＞ 1$，使得$2x + a ＜ 3$”是假命题，
所以此命题的否定“任意$x ＞ 1$，使得$2x + a \geqslant 3$”是真命题.
因为对任意$x ＞ 1$，都有$2x + a ＞ 2 + a$，
所以$2 + a \geqslant 3$，所以$a \geqslant 1$.
故实数$a$的取值范围是$\{a|a \geqslant 1\}$.

变式训练 若将[例3]中的“假命题”改为“真命题”，求实数$a$的取值范围.

答案： 变式训练
解:由题意知“存在$x ＞ 1$，
使得$x ＜ \frac{3 - a}{2}$”是真命题，
故有$\frac{3 - a}{2} ＞ 1$，所以$a ＜ 1$.
故实数$a$的取值范围是$\{a|a ＜ 1\}$.

1. 命题“$\forall x \in \mathbf{R},|x| + x^{2} \geq 0$”的否定是 (C)

A.$\forall x \in \mathbf{R},|x| + x^{2} ＜ 0$
B.$\forall x \in \mathbf{R},|x| + x^{2} \leq 0$
C.$\exists x \in \mathbf{R},|x| + x^{2} ＜ 0$
D.$\exists x \in \mathbf{R},|x| + x^{2} \geq 0$

答案： 随堂测评·自我突破
1.C

2. 命题“$\exists x ＞ 0,2x^{2} = 5x - 1$”的否定是 (A)

A.$\forall x ＞ 0,2x^{2} \neq 5x - 1$
B.$\forall x \leq 0,2x^{2} = 5x - 1$
C.$\exists x ＞ 0,2x^{2} \neq 5x - 1$
D.$\exists x \leq 0,2x^{2} = 5x - 1$

答案： 2.A

3. 已知命题$p$：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是 (C)

A.命题$\neg p$是真命题
B.命题$p$是存在量词命题
C.命题$p$是全称量词命题
D.命题$p$既不是全称量词命题也不是存在量词命题

答案： 3.C

4. 若命题“$\forall x \in \mathbf{R},x^{2} + 1 ＞ m$”是真命题，则实数$m$的取值范围是 (B)

A.$m \leq 1$
B.$m ＜ 1$
C.$m \geq 1$
D.$m ＞ 1$

答案： 4.B