《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 已知函数$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且$x ＞ 0$时，$f(x)=x^{2}+1$，则$f(-1)+f(0)=$ (C)

A.1
B.0
C.-2
D.2

答案： 1.C 解析：因为函数$f(x)$为定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以$f(0)=0$，$f(-1)=-f(1)=-(1^{2}+1)=-2$，
所以$f(-1)+f(0)=-2$.

2. (多选)已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且有$f(3) ＞ f(1)$，则下列各式中一定成立的是(AB)

A.$f(-1) ＜ f(3)$
B.$f(1) ＜ f(-3)$
C.$f(3) ＞ f(2)$
D.$f(2) ＞ f(0)$

答案： 2.AB 解析：$\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(-3)=f(3)$，$f(-1)=f(1)$.
又$f(3)＞f(1)$，$\therefore f(-3)＞f(1)$，$f(3)＞f(-1)$都成立.

3. 已知定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$在$(-\infty, 0]$上单调递增. 若$f(a) ＞ f(3)$，则实数$a$的取值范围是$(-3,3)$.

答案： 3.解析：由题意可知$|a|＜3$，解得$-3＜a＜3$.
答案：$(-3,3)$

4. 已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=2x - x^{2}$. 当$x ＜ 0$时，求$f(x)$的解析式.

答案： 4.解：当$x＜0$时，$-x＞0$，
于是$f(-x)=2(-x)-(-x)^{2}=-2x-x^{2}$.
因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，
所以$f(x)=-f(-x)=-(-2x-x^{2})=2x+x^{2}$，
即$f(x)=2x+x^{2}(x＜0)$.

[例1] 定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$y = f(x)$，其图象关于点$(\frac{1}{2},0)$对称，且$x \in [0,1]$时，$f(x)= -x + \frac{1}{2}$，则$f(\frac{3}{2}) =$

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 例1 B [解析] $\because y=f(x)$的图象关于点$(\frac{1}{2},0)$对称，
$\therefore f(\frac{1}{2}+x)+f(\frac{1}{2}-x)=0$，即$f(1+x)+f(-x)=0$．
又$\because y=f(x)$为偶函数，$\therefore f(-x)=f(x)$，$\therefore f(1+x)+f(x)=0$，即
$f(1+x)=-f(x)$，$\therefore f(\frac{3}{2})=-f(\frac{1}{2})=0$．

跟踪训练 1. 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，若$f(1 - x)$为奇函数，$f(x - 1)$为偶函数. 设$f(-2) = 1$，则$f(2) =$

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： ●跟踪训练
1．A 解析：$\because f(x-1)$为偶函数，$\therefore f(-x-1)=f(x-1)$，$\therefore f(x)$图象关于直线$x=-1$对称，
$\therefore f(-2)=f(0)=1$．$\because f(1-x)$为奇函
数，$\therefore f(1+x)=-f(1-x)$，$\therefore f(x)$图象关于点$(1,0)$对称，
$\therefore f(2)=-f(0)=-1$．