《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2. 证明：一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有一个正根和一个负根的充要条件是 $ ac ＜ 0 $.

答案： 2.证明：充分性：因为$ac ＜ 0$，所以$\Delta = b^{2}-4ac ＞ 0$，$\frac{c}{a} ＜ 0$.
所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根.
设方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} ＜ 0$，所以一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个正根和一个负根.
必要性：因为一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个正根和一个负根，所以$\Delta = b^{2}-4ac ＞ 0$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} ＜ 0$，所以$ac ＜ 0$.
故一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一个正根和一个负根的充要条件是$ac ＜ 0$.

[例 3] 已知 $ p:-2 \leq x \leq 10 $，$ q:1 - m \leq x \leq 1 + m $（$ m ＞ 0 $）. 若 $ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 例3 [解] 因为$p$是$q$的必要不充分条件，所以$q$是$p$的充分不必要条件，即$\{x\vert 1 - m\leqslant x\leqslant 1 + m\} \subsetneqq \{x\vert - 2\leqslant x\leqslant 10\}$，故有$\begin{cases}1 - m\geqslant - 2\\1 + m ＜ 10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m ＞ - 2\\1 + m\leqslant 10\end{cases}$，解得$m\leqslant 3$.又$m ＞ 0$，所以实数$m$的取值范围为$\{m\vert 0 ＜ m\leqslant 3\}$.

变式训练 若将 [例 3] 中“$ p $ 是 $ q $ 的必要不充分条件”改为“$ p $ 是 $ q $ 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数 $ m $ 的取值范围.

答案： 变式训练
解：$p$：$- 2\leqslant x\leqslant 10$，$q$：$1 - m\leqslant x\leqslant 1 + m(m ＞ 0)$.
因为$p$是$q$的充分不必要条件，设$p$代表的集合为$A$，$q$代表的集合为$B$，所以$A \subsetneqq B$.
所以$\begin{cases}1 - m\leqslant - 2\\1 + m ＞ 10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m ＜ - 2\\1 + m\geqslant 10\end{cases}$，解得$m\geqslant 9$，即实数$m$的取值范围为$\{m\vert m\geqslant 9\}$.

1. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.C 解析：因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.

2. 已知 $ p $：“$ x = 2 $”，$ q $：“$ x - 2 = \sqrt{2 - x} $”，则 $ p $ 是 $ q $ 的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.C 解析：由$q$：“$x - 2 = \sqrt{2 - x}$”，解得$x = 1$(舍去)或$x = 2$，由$p$可推出$q$，充分性成立，反之，由$q$可推出$p$，即必要性成立.所以$p$是$q$的充要条件.

3. “$ a ＜ b $”是“$ \frac{a}{b} ＜ 1 $”的（D）

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.D 解析：$a ＜ b \nLeftrightarrow \frac{a}{b} ＜ 1$，如$a = - 2$，$b = - 1$，$\frac{a}{b} ＜ 1 \nRightarrow a ＜ b$，如$a = 1$，$b = - 2$，故“$a ＜ b$”是“$\frac{a}{b} ＜ 1$”的既不充分也不必要条件.

4. 求证：一次函数 $ y = kx + b $（$ k \neq 0 $）的图象过原点的充要条件是 $ b = 0 $.

答案： 4.证明：①充分性：如果$b = 0$，那么$y = kx$，当$x = 0$时，$y = 0$，函数图象过原点.
②必要性：因为$y = kx + b(k \neq 0)$的图象过原点，所以当$x = 0$时，$y = 0$，得$0 = k · 0 + b$，所以$b = 0$.
综上，一次函数$y = kx + b(k \neq 0)$的图象过原点的充要条件是$b = 0$.