《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 下列各图中，表示以$x$为自变量，且有对称中心的函数是 (B)

答案： 随堂测评·自我突破
1．B 解析：关于原点对称．

2. 定义在$\mathbf{R}$上的偶函数$f(x)$在$[0, +\infty)$上是增函数. 若$f(a) ＜ f(b)$，则一定可得 (C)

A.$a ＜ b$
B.$a ＞ b$
C.$|a| ＜ |b|$
D.$0 \leq a ＜ b$或$a ＞ b \geq 0$

答案： 2．C 解析：$\because f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$[0,+\infty)$上是增函数，
$\therefore$由$f(a)＜f(b)$可得$|a|＜|b|$．

3. 已知函数$y = f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且在$[2,6]$上是减函数，则$f(-5)$＜$f(3)$.(填“$＞$”或“$＜$”)

答案： 3．解析：$\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(-5)=f(5)$，而函数$f(x)$在$[2,6]$上为
减函数，$\therefore f(5)＜f(3)$．
$\therefore f(-5)＜f(3)$．
答案：＜

4. 奇函数$f(x)$在区间$[3,6]$上是增函数，且在区间$[3,6]$上的最大值是$4$，最小值是$-1$，则$2f(-6) + f(-3) =$-7.

答案： 4．解析：由题意，函数$f(x)$在$[3,6]$上是增函数，在区间$[3,6]$上的最大
值为$4$，最小值为$-1$，故$f(3)=-1$，$f(6)=4$．
$\because f(x)$是奇函数，
$\therefore 2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×4+1=-7$．
答案：$-7$

幂函数的概念
一般地，函数$y =$$x^{\alpha }$叫做幂函数，其中$x$是自变量，$\alpha$是常数.

答案： 一、$x^{\alpha }$自变量 常数

[例1] (1)下列函数中是幂函数的有(A)
A.$y = \frac{1}{x^{2}}$
B.$y = 2x^{2}$
C.$y = x^{2} + x$
D.$y = 1$

答案： 例1A [解析]
(1)因为$y=\frac{1}{x^{2} }=x^{-2}$，所以A项是幂函数;$y = 2x^{2}$由于自变量前出现系数2，所以B项不是幂函数;$y = x^{2}+x$是两项和的形式，所以C项不是幂函数;$y = 1 = x^{0}(x\neq 0)$，可以看出，常函数$y = 1$的图象比幂函数$y = x^{0}$的图象多了一个点$(0,1)$，所以D项不是幂函数。

(2)已知$y = (m^{2} + 2m - 2)x^{m^{2} - 2} + 2n - 3$是幂函数，则$m =$$-3$或$1$，$n =$$\frac{3}{2}$.

答案：
(2)由题意得$\begin{cases}m^{2} + 2m - 2 = 1, \\2n - 3 = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = - 3,\\n = \frac{3}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}m = 1, \\n = \frac{3}{2}\end{cases}$
所以$m = - 3$或$m = 1,n = \frac{3}{2}$
(2)$-3$或$1 \frac{3}{2}$

1. 若函数$f(x) = (2m + 3)x^{m^{2} - 3}$是幂函数，则$m$的值为(A)

A.$- 1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 跟踪训练
1.A 解析:幂函数是形如$f(x) = x^{\alpha}$的函数，所以$2m + 3 = 1$，所以$m = - 1$。

[例2] 点$(\sqrt{2},2)$与点$( - 2, - \frac{1}{2})$分别在幂函数$f(x)$，$g(x)$的图象上，当$x$为何值时：
(1)$f(x) ＞ g(x)$？(2)$f(x) = g(x)$？(3)$f(x) ＜ g(x)$？

答案：
例2 [解] 设$f(x)=x^{\alpha },g(x)=x^{\beta }$。
$\because (\sqrt{2})^{\alpha } = 2,(-2)^{\beta } = -\frac{1}{2}$
$\therefore \alpha = 2,\beta = - 1$
$\therefore f(x) = x^{2},g(x) = x^{-1}$。分别作出它们的图象，
如图所示。
由图象知，

(1)当$x \in (- \infty,0) \cup (1, + \infty)$时，$f(x) ＞ g(x)$。
(2)当$x = 1$时，$f(x) = g(x)$。
(3)当$x \in (0,1)$时，$f(x) ＜ g(x)$。