《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▶跟踪训练 1.正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“$×$”.
(1)诱导公式五、六与诱导公式一～四的区别在于函数名称要改变. (√)
(2)$\sin(90^{\circ}+\alpha)=-\cos\alpha$.(×)
(3)$\sin(\alpha-\frac{\pi}{2})=-\cos\alpha$.(√)
(4)$\cos(\frac{k\pi}{2}-\alpha)=\pm\sin\alpha$(其中$k\in\mathbf{Z})$.(×)

答案： 跟踪训练
1.
(1)$\surd$
(2)$×$
(3)$\surd$
(4)$×$

二、利用诱导公式求值
[例2] 已知$\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{2}$,则$\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： 例2 [解析] $\cos(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]$
$=\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{2}$。
[答案] $\frac{1}{2}$

▶变式训练 1.将本例的条件改为$\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=\frac{1}{2}$,求$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)$的值.
2.将本例增加条件“$\alpha$是第三象限角”,求$\sin(\frac{7\pi}{6}+\alpha)$的值.

答案： 变式训练
1.解:$\cos(\frac{5\pi}{6}+\alpha)=\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}+\alpha)=-\sin(\frac{\pi}{3}+\alpha)=-\frac{1}{2}$。
2.解:因为$\alpha$是第三象限角，所以$-\alpha$是第二象限角.
又$\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{1}{2}$，所以$\frac{\pi}{3}-\alpha$是第二象限角，
所以$\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
所以$\sin(\frac{7\pi}{6}+\alpha)=\sin(\pi+\frac{\pi}{6}+\alpha)$
$=-\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=-\sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-\alpha)]$
$=-\cos(\frac{\pi}{3}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

三、诱导公式的综合应用
[例3] 已知$\alpha$是第三象限角,且$f(\alpha)=\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(2\pi-\alpha)\tan(-\alpha+\frac{3\pi}{2})}{\cos(-\alpha-\pi)}$.
(1)化简$f(\alpha)$;
(2)若$\cos(\alpha-\frac{3\pi}{2})=\frac{1}{5}$,求$f(\alpha)$的值.

答案： 例3 [解]
(1)$f(\alpha)=\frac{\sin \alpha · \cos(-\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)}$
$=\frac{\sin \alpha · \cos \alpha}{-\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\frac{-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{-\cos \alpha}·\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=-\cos \alpha$。
(2)$\because \cos(\alpha-\frac{3}{2}\pi)=\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin \alpha$，
$\therefore -\sin \alpha=\frac{1}{5},\therefore \sin \alpha=-\frac{1}{5}$。
又$\alpha$是第三象限角，知$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$
因此$f(\alpha)=-\cos \alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5}$。

▶跟踪训练 2.已知角$\alpha$的终边经过点$P(m,2\sqrt{2}),\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$且$\alpha$为第二象限角.
(1)求$m$的值;
(2)若$\tan\beta=\sqrt{2}$,
求$\frac{\sin\alpha\cos\beta+3\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin\beta}{\cos(\pi+\alpha)\cos(-\beta)-3\sin\alpha\sin\beta}$的值.

答案： 跟踪训练
2.解:
(1)$\because$角$\alpha$的终边过点$P(m,2\sqrt{2})$，
$\therefore \sin \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{m^2+8}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
解得$m=\pm1$。
$\because \alpha$为第二象限角，$\therefore m=-1$。
(2)由
(1)知$\tan \alpha=-2\sqrt{2}$，又$\tan \beta=\sqrt{2}$，
$\therefore \frac{\sin \alpha \cos \beta+3\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\sin \beta}{\cos(\pi+\alpha)\cos(-\beta)-3\sin \alpha \sin \beta}$
$=\frac{\sin \alpha \cos \beta+3\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta+3\sin \alpha \sin \beta}=\frac{\tan \alpha+3\tan \beta}{1+3\tan \alpha \tan \beta}$
$=\frac{-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{1+3×(-2\sqrt{2})×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}$。