《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 3] 为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担. 某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯. 已知这种节能灯的成本价为$10$元/台，出厂价为$12$元/台，每月的销售量$y$(台)与销售单价$x$(元)之间的关系近似满足一次函数$y = -10x + 500$.
(1)设他每月获得的利润为$W$元，写出$W$与$x$之间的函数关系式；
(2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于$25$元. 如果他想要每月获得不少于$3000$元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)依题意可知每台的销售利润为$(x-10)$元，每月的销售量为$(-10x+500)$台，
所以每月获得的利润$W$与销售单价$x$之间的函数关系式为$W=(x-10)(-10x+500)$。
(2)由每月获得不少于$3000$元的利润，
得$(x-10) · (-10x+500) \geqslant 3000$，
化简得$x^{2}-60x+800 \leqslant 0$，解得$20 \leqslant x \leqslant 40$。
又因为这种节能灯的销售单价不得高于$25$元，所以$20 \leqslant x \leqslant 25$。
设政府每个月为他承担的总差价为$p$元，
则$p=(12-10) · (-10x+500)=-20x+1000$。
由$20 \leqslant x \leqslant 25$，得$500 \leqslant -20x+1000 \leqslant 600$。
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为$\{p \mid 500 \leqslant p \leqslant 600\}$。