《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、函数奇偶性的概念
【知识梳理】
偶函数的定义：一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果$\forall x\in D$，都有$-x\in D$，且$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数.
奇函数的定义：一般地，设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果$\forall x\in D$，都有$-x\in D$，且$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数.

答案： 一、$f(-x)=f(x)$ $f(-x)=-f(x)$

[例1] 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=x^{4}+2x^{2}$；
(2)$f(x)=x^{3}+\frac{1}{x}$；
(3)$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}$；
(4)$f(x)=\begin{cases}x^{3}-3x^{2}+1,x＞0,\\x^{3}+3x^{2}-1,x＜0;\end{cases}$
(5)$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\vert x+2\vert-2}$.

答案： 例1[解]　
(1)
∵$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，
又$f(-x)=(-x)^{4}+2(-x)^{2}=x^{4}+2x^{2}=f(x)$，
∴$f(x)$为偶函数.
(2)
∵$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称，
又$f(-x)=(-x)^{3}+\frac{1}{-x}=-(x^{3}+\frac{1}{x})=-f(x)$，
∴$f(x)$为奇函数.
(3)
∵$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，
是两个具体数，且它关于原点对称，也关于$y$轴对称，
又$f(-1)=f(1)=0$，$f(-1)=-f(1)=0$，
∴$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1-x^{2}}$既是奇函数，又是偶函数.
(4)函数$f(x)$的定义域是$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称.
①当$x＞0$时，$-x＜0$，
则$f(-x)=(-x)^{3}+3(-x)^{2}-1=-x^{3}+3x^{2}-1=-(x^{3}-3x^{2}+1)=-f(x)$.
②当$x＜0$时，$-x＞0$，
则$f(-x)=(-x)^{3}-3(-x)^{2}+1=-x^{3}-3x^{2}+1=-(x^{3}+3x^{2}-1)=-f(x)$.
由①②知，当$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$时，都有$f(-x)=-f(x)$，
∴$f(x)$为奇函数.
(5)由题设得$\begin{cases}1-x^{2}\geqslant0,\\|x+2|-2\neq0,\end{cases}$
∴函数$f(x)$的定义域为$[-1,0)\cup(0,1]$，关于原点对称，且$x+2＞0$，
∴$|x+2|=x+2$，
∴$f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x+2-2}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$
∴$f(-x)=\frac{\sqrt{1-(-x)^{2}}}{-x}=-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}=-f(x)$，
∴$f(x)$是奇函数.

跟踪训练 1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=x^{3}+x^{5}$；
(2)$f(x)=\vert x+1\vert+\vert x-1\vert$；
(3)$f(x)=\frac{2x^{2}+2x}{x+1}$.

答案： 跟踪训练
1.解：
(1)函数的定义域为$\mathbf{R}$.
∵$f(-x)=(-x)^{3}+(-x)^{5}=-(x^{3}+x^{5})=-f(x)$，
∴$f(x)$是奇函数.
(2)$f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$.
∵$f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)$，
∴$f(x)$是偶函数.
(3)函数$f(x)$的定义域是$(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$，不关于原点对称，
∴$f(x)$是非奇非偶函数.

[例2] 已知函数$y=f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，且当$x\leq0$时，$f(x)=x^{2}+2x$.现已画出函数$y=f(x)$在$y$轴左侧的图象，如图所示.

(1)请补全函数$y=f(x)$的图象；
(2)根据图象写出函数$y=f(x)$的单调递增区间；
(3)根据图象写出使$f(x)＜0$的$x$的取值集合.

答案：
例2[解]　
(1)由题意作出函数图象，如图.
(2)由图可知，单调递增区间为$(-1,0)$，$(1,+\infty)$.
(3)由图可知，使$f(x)＜0$的$x$的取值集合为$\{x|-2＜x＜2$，且$x\neq0\}$.

变式训练 若将[例2]中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？

答案：
变式训练
解：
(1)由题意作出函数图象，如图所示.
(2)由图可知，单调递增区间为$(-1,1)$.
(3)由图可知，使$f(x)＜0$的$x$的取值集合为$\{x|-2＜x＜0$，或$x＞2\}$.