《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▦跟踪训练 3. 已知 $x＞-1$，求 $y=\frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1}$ 的最小值.

答案： 解：
∵x ＞ -1，
∴x + 1＞0，
∴y = $\frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2 + 5(x + 1) + 4}{x + 1}$
= (x + 1) + $\frac{4}{x + 1} + 5 \geqslant 2\sqrt{(x + 1) · \frac{4}{x + 1}}$ + 5 = 9，
当且仅当x + 1 = $\frac{4}{x + 1}$，即x = 1时，等号成立，
∴当x = 1时，函数y = $\frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1}$(x ＞ -1)取得最小值9.

[例 4] 已知 $x＞0,y＞0,x + 2y+2xy = 8$，求 $x + 2y$ 的最小值.

答案： 解] 法一：消元法
由x + 2y + 2xy = 8，可知y = $\frac{8 - x}{2 + 2x}$
因为x＞0,y＞0，所以0＜x＜8.
所以x + 2y = x + $\frac{8 - x}{x + 1} = x + \frac{9 - 1 - x}{x + 1} = x + \frac{9}{x + 1} - 1$
= x + 1 + $\frac{9}{x + 1} - 2 \geqslant 2\sqrt{9} - 2 = 4$，
当且仅当x + 1 = $\frac{9}{x + 1}$，即x = 2时，等号成立.
所以x + 2y的最小值为4.
法二：构造不等式法
∵x + 2y + 2xy = 8,x＞0,y＞0，
∴2xy = x $·$ (2y) $\leqslant (\frac{x + 2y}{2})^2$，
∴x + 2y + 2xy $\leqslant$ (x + 2y) + $\frac{1}{4}$(x + 2y)$^2$，
设t = x + 2y，
∴8 $\leqslant$ t + $\frac{1}{4}$t$^2$，
即t$^2$ + 4t - 32 $\geqslant$ 0，
∴t $\geqslant$ 4 或 t $\leqslant$ -8(舍)，
∴x + 2y的最小值为4，当且仅当x = 2y = 2时，等号成立.

▦跟踪训练 4. 已知 $a＞0,b＞0$，且 $2a + b = ab - 1$，则 $a + 2b$ 的最小值为5 + 2$\sqrt{6}$.

答案： 解析：由2a + b = ab - 1，得a = $\frac{b + 1}{b - 2}$ 因为a＞0,b＞0，所以a = $\frac{b + 1}{b - 2}$＞0,b + 1＞0，所以b＞2，所以a + 2b = $\frac{b + 1}{b - 2} + 2b = \frac{(b - 2) + 3}{b - 2} + 2(b - 2) + 4 = 2(b - 2) + \frac{3}{b - 2} + 5 \geqslant 2\sqrt{2(b - 2) · \frac{3}{b - 2}}$ + 5 = 5 + 2$\sqrt{6}$，当且仅当2(b - 2) = $\frac{3}{b - 2}$，即b = 2 + $\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立. 所以a + 2b的最小值为5 + 2$\sqrt{6}$.
答案：5 + 2$\sqrt{6}$

[例 5] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”. 在某公路上，“刹车距离”$s$ (米) 与汽车车速 $v$ (米/秒) 之间有经验公式：$s=\frac{3}{40}v^2+\frac{5}{8}v$. 为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加 25 米. 现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长 5 米，每辆车均以相同的速度 $v$ 行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”.

(1) 试写出经过观测点 $A$ 的每辆车之间的时间间隔 $T$ 与速度 $v$ 的函数关系式；
(2) 问：$v$ 为多少时，经过观测点 $A$ 的车流量（即单位时间通过的汽车数量）最大？

答案： [解]
(1)T = $\frac{s + 2s + 5}{v} = \frac{\frac{3v^2}{40} + \frac{5v}{8} + 30}{v} = \frac{3v}{40} + \frac{30}{v} + \frac{5}{8}$.
(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小.
∵T = $\frac{3v}{40} + \frac{30}{v} + \frac{5}{8} \geqslant 2\sqrt{\frac{3v}{40} · \frac{30}{v}}$ + $\frac{5}{8} = \frac{29}{8}$，
当且仅当$\frac{3v}{40} = \frac{30}{v}$，即v = 20时取等号.
∴当v = 20米/秒时，经过观测点A的车流量最大.

▦跟踪训练 5. 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层. 体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 $C$ (单位：万元) 与隔热层厚度 $x$ (单位：cm) 满足关系：$C(x)=\frac{k}{3x + 5}(0\leq x\leq10,k$ 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元. 设 $f(x)$ 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1) 求 $k$ 的值及 $f(x)$ 的表达式；
(2) 隔热层修建多厚时，总费用 $f(x)$ 达到最小？并求最小值.

答案： 解：
(1)由于C(x) = $\frac{k}{3x + 5}$(0 $\leqslant$ x $\leqslant$ 10)，
当x = 0时，C(x) = 8，
∴8 = $\frac{k}{5}$，
∴k = 40，
∴C(x) = $\frac{40}{3x + 5}$，
∴f(x) = 6x + $\frac{40}{3x + 5} × 20 = 6x + \frac{800}{3x + 5}$(0 $\leqslant$ x $\leqslant$ 10).
(2)由
(1)得f(x) = 2(3x + 5) + $\frac{800}{3x + 5} - 10$，
设3x + 5 = t,t $\in$ [5,35]，
则y = 2t + $\frac{800}{t} - 10 \geqslant 2\sqrt{2t · \frac{800}{t}}$ - 10 = 70，
当且仅当2t = $\frac{800}{t}$，即t = 20时，等号成立.
这时x = 5，因此f(x)的最小值为70，即隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.