《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1.下列函数中，既是偶函数，又在区间$(0, +\infty)$上单调递减的是 (A)

A.$y =x^{-2}$
B.$y = x^{-1}$
C.$y = x^2$
D.$y = x^{\frac{1}{3}}$

答案： 随堂测评·自我突破
1.A 解析:所给选项都是幂函数，其中$y = x^{-2}$和$y = x^{2}$是偶函数，$y = x^{-1}$和$y = x^{\frac{1}{3}}$不是偶函数，故排除选项B,D。又$y = x^{2}$在区间$(0, + \infty)$上单调递增，不合题意，$y = x^{-2}$在区间$(0, + \infty)$上单调递减，符合题意。

2. 幂函数$f(x)$的图象过点$(2,m)$,且$f(m)=16$,则实数$m=$4或$\frac{1}{4}$

答案： 2.解析:设$f(x) = x^{\alpha }$，则$2^{\alpha } = m,m^{\alpha } = (2^{\alpha })^{\alpha } = 2^{\alpha ^{2}} = 16$，所以$\alpha ^{2} = 4$，所以$\alpha = \pm 2$，所以$m = 4$或$\frac{1}{4}$
答案:4或$\frac{1}{4}$

3. 若幂函数$f(x)$过点$(2,8)$,则满足不等式$f(a-3) ＞ f(1-a)$的实数$a$的取值范围是$(2, + \infty)$

答案： 3.解析:设幂函数为$f(x) = x^{\alpha }$，因为其图象过点$(2,8)$，所以$2^{\alpha } = 8$，解得$\alpha = 3$，所以$f(x) = x^{3}$。因为$f(x) = x^{3}$在$\mathbf{R}$上为增函数，所以由$f(a - 3) ＞ f(1 - a)$，得$a - 3 ＞ 1 - a$，解得$a ＞ 2$。所以满足不等式$f(a - 3) ＞ f(1 - a)$的实数$a$的取值范围是$(2, + \infty)$。
答案:$(2, + \infty)$

[例1] 城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第$ t $(限定$ t＜50 $)年的城镇常住人口为$ f(t) $亿.写出$ f(t) $的解析式，并由此估算出我国2025年的城镇常住人口数.

答案： [解] 因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以$f(t)$是一次函数，设$f(t)=kt+b$，其中$k,b$是常数.
注意到2013年是1978年后的第35年，
因此$\begin{cases}f(0)=1.7,\\f(35)=7.3,\end{cases}$即$\begin{cases}b=1.7,\\35k+b=7.3,\end{cases}$
解得$k=0.16,b=1.7$，
因此$f(t)=0.16t+1.7,t\in\mathbf{N}$且$t＜50$.
又因为2025年是1978年后的第47年，
即$f(47)=0.16×47+1.7=9.22$，
所以由此可估算出我国2025年的城镇常住人口为9.22亿.

1. 如图所示，这是某通信公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费$ y $(元)与通话时间$ t $(分钟)之间的函数关系图象.根据图象填空：

(1) 通话2分钟，需要付电话费3.6元；
(2) 通话5分钟，需要付电话费6元；
(3) 如果$ t\geq3 $，则电话费$ y $(元)与通话时间$ t $(分钟)之间的函数关系式为$y=1.2t(t\geq3)$.

答案： 解析：
(1)由图象可知，当$t\leq3$时，电话费都是3.6元.
(2)由图象可知，当$t=5$时，$y=6$，需付电话费6元.
(3)易知当$t\geq3$时，图象过点$(3,3.6),(5,6)$，待定系数求得$y=1.2t(t\geq3)$.
答案：
(1)3.6
(2)6
(3)$y=1.2t(t\geq3)$

[例2] 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
(1) 求平均每天的销售量$ y $(箱)与销售单价$ x $(元/箱)之间的函数关系式；
(2) 求该批发商平均每天的销售利润$ w $(元)与销售单价$ x $(元/箱)之间的函数关系式；
(3) 当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[课堂笔记]

答案： [解]
(1)根据题意，
得$y=90-3(x-50)$，化简，
得$y=-3x+240(50\leq x\leq55,x\in\mathbf{N})$.
(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以$w=(x-40)(-3x+240)=-3x^{2}+360x-9600(50\leq x\leq55,x\in\mathbf{N})$.
(3)因为$w=-3x^{2}+360x-9600=-3(x-60)^{2}+1200$，
所以当$x＜60$时，$w$随$x$的增大而增大.
又$50\leq x\leq55,x\in\mathbf{N}$，
所以当$x=55$时，$w$有最大值，最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元.