《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：

为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数 $ y = a x + b $ 或 $ y = a ^ { x } + b $（$ a $，$ b $ 为常数，$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）来模拟这种电脑元件的月产量 $ y $ 千件与月份 $ x $ 的关系. 请问：用以上哪个模拟函数较好？请说明理由.

答案： 3.解:将$(1,50)$，$(2,52)$分别代入两解析式，
　得$\begin{cases} 50 = a + b \\ 52 = 2a + b \end{cases}$，$\begin{cases} 50 = a + b \\ 52 = a^{2} + b \end{cases}(a＞0,且a \neq 1)$.
　解得$\begin{cases} a = 2 \\ b = 48 \end{cases}$（两方程组的解相同）.
　所以两函数分别为$y = 2x + 48$或$y = 2^{x} + 48$.
　当$x = 3$时,对于$y = 2x + 48$，$y = 54$；
　对于$y = 2^{x} + 48$，$y = 56$.
　由于$56$与$53.9$的相差较大，所以选函数$y = ax + b$模拟较好.

1. 下列函数中，在 $ ( 0, + \infty ) $ 上增长速度最快的是(D)

A.$ y = x ^ { 2 } $
B.$ y = \log _ { 2 } x $
C.$ y = 2 x $
D.$ y = 2 ^ { x } $

答案： 1.D

2. 在某个物理实验中，测量得变量 $ x $ 和变量 $ y $ 的几组数据，如下表：

则对 $ x $，$ y $ 最适合的拟合函数是(D)

A.$ y = 2 x $
B.$ y = x ^ { 2 } - 1 $
C.$ y = 2 x - 2 $
D.$ y = \log _ { 2 } x $

答案： 2.D解析:将$x = 0.50$代入计算，可以排除A；将$x = 2.01$代入计算，可以排除B,C.

3. 某人投资 $ x $ 元，获利 $ y $ 元，有以下三种方案：甲：$ y = 0.2 x $，乙：$ y = \log _ { 2 } x + 100 $，丙：$ y = 1.005 ^ { x } $，则投资 500 元、1000 元、1500 元时，应分别选择乙、甲、丙方案.

答案： 3.解析:将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中，比较$y$值的大小即可求出.
　答案:乙、甲、丙

4. 已知函数 $ f ( x ) = 3 ^ { x } $，$ g ( x ) = 2 x $，当 $ x \in \mathbf { R } $ 时，$ f ( x ) $ 与 $ g ( x ) $ 的大小关系为$f(x)＞g(x)$.

答案：
4.解析:在同一平面直角坐标系中画出函数$f(x)=3^{x}$，$g(x)=2x$的图象,如图所示,由于函数$f(x)=3^{x}$的图象在函数$g(x)=2x$图象的上方,则$f(x)＞g(x)$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　答案:$f(x)＞g(x)$