《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

3. 化简求值：
(1) $0.027^{\frac{1}{3}} - (6\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} + 256^{\frac{3}{4}} + (2\sqrt{2})^{\frac{2}{3}} - 3^{-1} + \pi^0$;
(2) $2\sqrt[3]{a} ÷ 4\sqrt[6]{ab} · 3\sqrt{b^3}$.

答案： 3.解：
(1)原式=$(0.3^3)^{\frac{1}{3}} - [(\frac{5}{2})^2]^{\frac{1}{2}} + (4^4)^{\frac{1}{4}} + (2^3)^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3} + 1 =$
$0.3 - \frac{5}{2} + 4^3 + 2 - \frac{1}{3} + 1 = 64\frac{7}{15}$.
(2)原式=$2a^{\frac{1}{3}} ÷ (4a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}) · (3b^{\frac{1}{3}})$
=$\frac{1}{2}a^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} · 3b^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}}$

1. 已知 $n \in \mathbf{N}, n ＞ 1$，那么 $\sqrt[2n]{(-5)^{2n}} =$ (A)

A.$5$
B.$-5$
C.$-5$ 或 $5$
D.不能确定

答案： 1.A 解析：$\sqrt[2n]{(-5)^{2n}} = \sqrt[2n]{5^{2n}} = 5$.

2. 若 $a ＜ \frac{1}{4}$，则化简 $\sqrt{(4a - 1)^2}$ 的结果是 (B)

A.$4a - 1$
B.$1 - 4a$
C.$-\sqrt{4a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - 4a}$

答案： 2.B 解析：$\because a ＜ \frac{1}{4}$,$\therefore 4a - 1 ＜ 0$,$\therefore \sqrt{(4a - 1)^2} = |4a - 1| = -(4a - 1) = 1 - 4a$.

3. (多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是 (BC)

A.$-\sqrt{x} = (-x)^{\frac{1}{2}} (x ＞ 0)$
B.$\sqrt[6]{y^2} = y^{\frac{1}{3}} (y ＞ 0)$
C.$x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt{x}} (x ＞ 0, y ＞ 0)$
D.$x^{-\frac{1}{3}} = -\sqrt[3]{x} (x ＞ 0)$

答案： 3.BC 解析：对于A，$-\sqrt{x} = -x^{\frac{1}{2}}(x ＞ 0)$，故A错误；对于B，$\sqrt[4]{y^2} = y^{\frac{2}{4}}(y ＞ 0)$，故B正确；对于C，$x^{-\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x}}(x ＞ 0,y ＞ 0)$，故C正确；对于D，$x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}(x ＞ 0)$，故D错误.

4. 计算 $(\pi - 3)^0 + 3^{-1} × (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} =$$\frac{3}{2}$.

答案： 4.解析：原式=$1 + \frac{1}{3} × \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
答案：$\frac{3}{2}$

一、无理数指数幂的运算
【知识梳理】
1. 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂$a^{\alpha}(a＞0,\alpha$为无理数)是一个确定的实数.实数指数幂是一个确定的实数.
2. 实数指数幂的运算法则
$(1)a^{r}a^{s}=a^{r + s}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$；
$(2)(a^{r})^{s}=a^{rs}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$；
$(3)(ab)^{r}=a^{r}b^{r}(a＞0,b＞0,r\in\mathbf{R})$；
$(4)$拓展$\frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r - s}(a＞0,r,s\in\mathbf{R})$.

答案： 一、1.实数

[例1] 计算下列各式的值：
$(1)4^{\sqrt{2}+1}·2^{3 - 2\sqrt{2}}$；
$(2)(\sqrt[{\sqrt{3}}]{8^{\sqrt{3}}}×\sqrt[3\sqrt{3}]{3^{\sqrt{3}}})^{2\sqrt{3}}$；
$(3)(\frac{\pi^{\sqrt{2}}}{\sqrt{\pi^{\sqrt{2}}}})^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

答案： 例1 [解]
(1)原式$=2^{2\sqrt{2}+2}·2^{3 - 2\sqrt{2}}$
$=2^{2\sqrt{2}+2 + 3 - 2\sqrt{2}}=2^{5}=32$.
(2)原式$=(2^{\frac{\sqrt{2}}{3}}×3^{\frac{\sqrt{2}}{3}})^{2\sqrt{3}}=2^{9}×3^{2}=4608$.
(3)原式$=\frac{\pi^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}{\pi^{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=(\pi^{\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}})^{\frac{1}{2}}=\pi^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\pi}$.