《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

1. 实数 $ x $ 大于 $ \sqrt{10} $, 用不等式表示为 (C)

A.$ x ＜ \sqrt{10} $
B.$ x \leq \sqrt{10} $
C.$ x ＞ \sqrt{10} $
D.$ x \geq \sqrt{10} $

答案： 随堂测评·自我突破
1 C

2. 某校对高一美术生划定录取分数线, 专业成绩 $ x $ 不低于 $ 95 $ 分, 文化课总分 $ y $ 高于 $ 380 $ 分, 体育成绩 $ z $ 超过 $ 45 $ 分, 用不等式组表示为.

答案： 2 解析：“不低于”即“$\geqslant$”，“高于”即“$＞$”，“超过”即“$＞$”，
$\therefore \begin{cases}x \geqslant 95,\\y ＞ 380,\\z ＞ 45.\end{cases}$
答案 $\begin{cases}x \geqslant 95,\\y ＞ 380,\\z ＞ 45\end{cases}$

3. 在不等式 $ a^{2}+4 \geq 4a $ 中, 等号成立的条件为$a = 2$.

答案： 3 解析：令$a^{2} + 4 = 4a$，则$a^{2} - 4a + 4 = 0$，
即$(a - 2)^{2} = 0$，$\therefore a = 2$.
答案：$a = 2$

4. 已知 $ a,b \in \mathbf{R} $, $ x = a^{3}-b $, $ y = a^{2}b - a $, 试比较 $ x $ 与 $ y $ 的大小.

答案： 4 解：因为$x - y = a^{3} - b - a^{2}b + a = a^{2}(a - b) + a - b = (a - b)(a^{2} + 1)$，
所以当$a ＞ b$时，$x - y ＞ 0$，所以$x ＞ y$；
当$a = b$时，$x - y = 0$，所以$x = y$；
当$a ＜ b$时，$x - y ＜ 0$，所以$x ＜ y$.

[例 1] (多选)下列命题中为真命题的是 (CD)

A.$0 ＞ a ＞ b \Rightarrow a^2 ＞ b^2$
B.$a^2 ＞ b^2 \Rightarrow a ＞ b ＞ 0$
C.若$a ＜ b ＜ 0$, 则$a^2 ＞ ab ＞ b^2$
D.若$a ＞ b, \frac{1}{a} ＞ \frac{1}{b}$, 则$a ＞ 0, b ＜ 0$

答案： 例1 CD [解析] 对于A，由$0＞a＞b$可知,$0＜-a＜-b$,则由性质7可知,$(-b)^2＞(-a)^2$，即$b^2＞a^2$，故A为假命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由$\begin{cases} a ＜ b, \\ a ＜ 0 \end{cases}$可得$a^2＞ab$.因为$\begin{cases} a ＜ b, \\ b ＜ 0, \end{cases}$所以$ab＞b^2$，从而有$a^2＞ab＞b^2$，故C为真命题；对于D，由$\frac{1}{a} , \frac{1}{b}$，可知$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab} ＞ 0$.因为$a ＞ b$，所以$b - a ＜ 0$，于是$ab ＜ 0$.又因为$a ＞ b$，所以$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，故D为真命题.

1. (多选) 已知实数$a, b, c, d$满足$a ＞ b ＞ c ＞ d$, 则下列选项中不正确的是 (ACD)

A.$a + d ＞ b + c$
B.$a + c ＞ b + d$
C.$ad ＞ bc$
D.$ac ＞ bd$

答案： 1.ACD

二、利用不等式的性质证明不等式
[例 2] 已知$c ＞ a ＞ b ＞ 0$, 求证: $\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.

答案： 例2 [证明] 法一:因为$c ＞ a ＞ b ＞ 0$，所以$0 ＜ c - a ＜ c - b$，
所以$(c - a)(c - b) ＞ 0$，
所以$0 ＜ \frac{1}{(c - a)(c - b)} · (c - a) ＜ \frac{1}{(c - a)(c - b)} · (c - b)$，
即$0 ＜ \frac{1}{c - b} ＜ \frac{1}{c - a}$，即$\frac{1}{c - a} ＞ \frac{1}{c - b} ＞ 0$.
又因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.
法二:因为$a ＞ b ＞ 0$，所以$\frac{c}{a} ＜ \frac{c}{b}$，
所以$\frac{c}{a} - 1 ＜ \frac{c}{b} - 1$，即$\frac{c - a}{a} ＜ \frac{c - b}{b}$
因为$c ＞ a ＞ b ＞ 0$，所以$c - a ＞ 0$，$c - b ＞ 0$.
所以$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.
法三:$\frac{a}{c - a} - \frac{b}{c - b}$
$=\frac{a(c - b) - b(c - a)}{(c - a)(c - b)}$
$=\frac{ac - ab - bc + ab}{(c - a)(c - b)} = \frac{c(a - b)}{(c - a)(c - b)}$.
因为$c ＞ a ＞ b ＞ 0$，所以$a - b ＞ 0$，$c - a ＞ 0$，$c - b ＞ 0$，
所以$\frac{a}{c - a} ＞ \frac{b}{c - b}$.

[课堂笔记]
►变式训练
在[例 2] 条件不变的情况下, 求证: $\frac{a}{(c - a)^2} ＞ \frac{b}{(c - b)^2}$.

答案： 变式训练
证明:$\because c ＞ a ＞ b ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ c - a ＜ c - b$，
$\therefore (c - a)^2 ＜ (c - b)^2$，$\therefore \frac{1}{(c - a)^2} ＞ \frac{1}{(c - b)^2} ＞ 0$.
又$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore \frac{a}{(c - a)^2} ＞ \frac{b}{(c - b)^2}$.