《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

▶跟踪训练 2.若$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{4\sin\alpha - 9\cos\alpha}=-1$，则$\tan\alpha=$2，$1 - 4\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^2\alpha=$$-\frac{1}{5}$.

答案： ●跟踪训练 2.解析：原式可化为$\frac{2\tan\alpha - 3}{4\tan\alpha - 9}=-1$，
则$\tan\alpha=2$.
$1 - 4\sin\alpha\cos\alpha + 2\cos^{2}\alpha$
$=\frac{\sin^{2}\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha + 3\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha}$
$=\frac{\tan^{2}\alpha - 4\tan\alpha + 3}{\tan^{2}\alpha + 1}=-\frac{1}{5}$.
答案$2-\frac{1}{5}$

[例3] 已知$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}(0＜\theta＜\pi)$，求$\sin\theta\cos\theta$和$\sin\theta - \cos\theta$的值.

答案： 例3 [解] 因为$\sin\theta + \cos\theta=\frac{1}{2}(0＜\theta＜\pi)$，
所以$(\sin\theta + \cos\theta)^{2}=\frac{1}{4}$，
即$\sin^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^{2}\theta=\frac{1}{4}$，
所以$\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}$.
由上知$\theta$为第二象限角，
所以$\sin\theta - \cos\theta＞0$，
所以$\sin\theta - \cos\theta$
$=\sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^{2}-4\sin\theta\cos\theta}=\sqrt{(\frac{1}{2})^{2}-4×(-\frac{3}{8})}=\frac{\sqrt{7}}{2}$.

▶跟踪训练 3.已知$\alpha\in(0,\pi),\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{7}{13}$，求$\tan\alpha$的值.

答案： ●跟踪训练 3.解：因为$\sin\alpha + \cos\alpha=\frac{7}{13}$,①
所以$2\sin\alpha·\cos\alpha=-\frac{120}{169}＜0$.
又因为$\alpha\in(0,\pi)$,所以$\sin\alpha＞0,\cos\alpha＜0$，
所以$\sin\alpha - \cos\alpha＞0$，
所以$\sin\alpha - \cos\alpha=\sqrt{1 - 2\sin\alpha·\cos\alpha}=\frac{17}{13}$.②
联立①②解得$\sin\alpha=\frac{12}{13},\cos\alpha=-\frac{5}{13}$.
所以$\tan\alpha=-\frac{12}{5}$.

[例4] 化简：
(1)$\frac{\sqrt{1 + 2\sin10°\cos10°}}{\cos10°+\sqrt{1 - \cos^210°}}$；
(2)$\sin^2\alpha\tan\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\tan\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha$.

答案： 例4 [解]
(1)原式$=\frac{\sqrt{(\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ})^{2}}}{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}}=\frac{|\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}|}{\cos10^{\circ}+\sin10^{\circ}}=1$.
(2)原式$=\sin^{2}\alpha·\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\cos^{2}\alpha·\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha$
$=\frac{\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha+2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha)^{2}}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$.