《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2.集合$P$中含有两个元素$1$和$4$，集合$Q$中含有两个元素$1$和$a^2$.若$P=Q$，则$a=$±2

答案： 跟踪训练 2
2.解析：
∵P = Q，
∴$a^2 = 4$，
∴a = ±2.
答案：±2

三、元素和集合之间的关系
【知识梳理】
1.元素和集合之间的关系

2.常用数集及其记法

答案： 1. ∈；∉ 2. N；N*；Z；Q；R

[例3] (1)用符号“$\in$”或“$\notin$”填空：
$0$∉$\mathbf{N}^*$；$-3$∉$\mathbf{N}$；$0.5$∉$\mathbf{Z}$；$\sqrt{2}$∉$\mathbf{Z}$；
$\frac{1}{3}$∈$\mathbf{Q}$；$\pi$∈$\mathbf{R}$.
(2)已知集合$A$中元素$x$满足$2x + a ＞ 0$，$a\in \mathbf{R}$.若$2\in A$，则实数$a$的取值范围为a ＞ -4.

答案： 例3
(1)∉ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈
(2)a ＞ -4

跟踪训练 3.(1)(多选)集合$M$是由大于$-2$且小于$1$的实数构成的，则下列关系正确的是　　(BD)
A.$\sqrt{5}\in M$
B.$0\in M$
C.$1\in M$
D.$-\frac{\pi}{2}\in M$

答案： 跟踪训练 3
3.解析：
(1)$\sqrt{5} ＞ 1$，故A错误；-2 ＜ 0 ＜ 1，故B正确；1 ∉ M，故C错误；-2 ＜ -$\frac{\pi}{2}$ ＜ 1，故D正确.
BD

(2)已知集合$A$中含有两个元素$a+3$和$2a+1$.若$-3\in A$，则实数$a$的值为-6或 -2.

答案：
(2)
∵ -3 ∈ A，
∴ -3 = a + 3或 -3 = 2a + 1.
若 -3 = a + 3，则a = -6.此时集合A中含有两个元素 -3，-11，符合题意.
若 -3 = 2a + 1，则a = -2，此时集合A中含有两个元素1，-3，符合题意.
综上所述，实数a的值为 -6或 -2.

1.(多选)下列各项中，可以组成集合的是　　(ABD)

A.所有的正数
B.等于2的数
C.接近于0的数
D.不等于0的偶数

答案： 1.ABD 解析：集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合.

2.方程$x^2 + 2x - 8 = 0$和方程$x^2 + x - 12 = 0$的所有实数解组成的集合为$M$，则$M$中的元素个数为　　(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 2.C 解析：这两个方程的实数解分别是2，-4和 -4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.

3.下列表示正确的是　　(A)

A.$0\in \mathbf{N}$
B.$\frac{2}{7}\in \mathbf{N}$
C.$-3\notin \mathbf{Z}$
D.$\pi\in \mathbf{Q}$

答案： 3.A 解析：对于A，0是自然数，即有0 ∈ N，故A正确；对于B，$\frac{2}{7}$是不可约分数，即有$\frac{2}{7}$ ∉ N，故B错误；对于C，-3是负整数，即有 -3 ∈ Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π ∉ Q，故D错误.

4.设集合$A$含有两个元素$x$，$y$，$B$含有两个元素$0$，$x^2$.若集合$A$与集合$B$相等，求实数$x$，$y$的值.

答案： 4.解：由题意得x ≠ 0，即$\begin{cases}y = 0,\\x = x^2,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$