《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例3] 若集合$A = \{x \mid kx^2 - 8x + 16 = 0\}$中只有一个元素，试求实数$k$的值，并用列举法表示集合$A$.

答案： 例3［解］若集合A中只有一个元素，
则方程$kx^{2}-8x+16=0。$
当k=0时，原方程变为-8x+16=0,x=2，
此时集合A={2}。
当k≠0时，则关于x的一元二次方程$kx^{2}-8x+16=0$有两个相等实数根，只需Δ=64-64k=0，即k=1。
此时方程的解为$x_{1}=x_{2}=4，$集合A={4}，满足题意。
综上所述，实数k的值为0或1。
当k=0时，A={2}；当k=1时，A={4}。

变式训练 1. (变条件)若将[例3]中条件变为“集合$A$中有2个元素”，求$k$的取值范围.

答案： 变式训练 1.解：由题意得$\begin{cases} k≠0, \\ Δ=(-8)^{2}-4×k×16＞0, \end{cases}$
解得k＜1,且k≠0。
故k的取值范围为{k|k＜1,且k≠0}。

2. (变条件)若将[例3]中条件变为“集合$A$中至多有一个元素”，求$k$的取值范围.

答案： 2.解：当集合A中含有1个元素时，由例3知，k=0或k=1；
当集合A中没有元素时，方程$kx^{2}-8x+16=0$无解，
即$\begin{cases} k≠0, \\ Δ=(-8)^{2}-4×k×16＜0, \end{cases}$
解得k＞1。
综上，实数k的取值范围为{k|k=0，或k≥1}。

1. 用列举法表示集合$\{x \in \mathbb{N} \mid x - 3 ＜ 2\}$，正确的是
(D)

A.$\{1, 2, 3, 4\}$
B.$\{1, 2, 3, 4, 5\}$
C.$\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$
D.$\{0, 1, 2, 3, 4\}$

答案： 1 D 解析：解不等式得x＜5，又x∈N，
∴x是小于5的自然数，
∴表示为{0,1,2,3,4}。

2. 集合$\{(x, y) \mid y = 2x - 1\}$表示 (D)

A.方程$y = 2x - 1$
B.点$(x, y)$
C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D.一次函数$y = 2x - 1$图象上的所有点组成的集合

答案： 2 D 解析：本题中的集合是点集，其表示一次函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合.

3. (多选)下面四个说法正确的是 (AB)

A.10以内的质数组成的集合是$\{2, 3, 5, 7\}$
B.由1,2,3组成的集合可表示为$\{1, 2, 3\}$或$\{3, 1, 2\}$
C.方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解集是$\{1, 1\}$
D.0与$\{0\}$表示同一个集合

答案： 3 AB 解析：10以内的质数组成的集合是{1,2,3,5,7}，故A说法正确；
由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}相等，且都可以表示由
1,2,3组成的集合，故B说法正确；方程$x^{2}-2x+1=0$的解集应为
{1}，故C说法错误；由集合的表示方法知“O”不是集合，故D说法
错误。

4. 用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于$-3.5$且小于$12.8$的整数的全体；
(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.

答案： 4 解：
(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}。
(2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}或{x∈Z|-3.5＜x＜12.8}。
(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京,张家口}。