《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2. 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x) = \sin x\cos x$；
(2)$f(x) = \sqrt{1 - \cos x} + \sqrt{\cos x - 1}$；
(3)$f(x) = \frac{1 + \sin x - \cos^{2}x}{1 + \sin x}$.

答案： 解：
(1)函数的定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称.
$\because f(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=-\sin x\cos x=-f(x)$，
$\therefore f(x)=\sin x\cos x$ 为奇函数.
(2)由 $\begin{cases}1 - \cos x\geq0,\\\cos x - 1\geq0,\end{cases}$
得 $\cos x = 1$，
$\therefore$ 函数的定义域为 $\{x|x = 2k\pi,k\in \mathbf{Z}\}$，定义域关于原点对称.
当 $\cos x = 1$ 时，$f(x)=0,f(x)=\pm f(-x)$.
$\therefore f(x)=\sqrt{1 - \cos x}+\sqrt{\cos x - 1}$ 既是奇函数又是偶函数.
(3)$\because 1 + \sin x\neq0,\therefore \sin x\neq - 1$，
$\therefore x\in \mathbf{R}$ 且 $x\neq2k\pi-\frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}$.
$\because$ 定义域不关于原点对称，$\therefore$ 该函数是非奇非偶函数.

三、三角函数奇偶性与周期性的综合应用
角度1 求参数值
[例3] 已知函数$f(x) = \sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4} + \varphi)$是奇函数，则$\varphi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$时，$\varphi$的值为$\frac{\pi}{4}$.

答案： [解析] 因为 $f(x)$ 是奇函数，
所以 $\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}$，则 $\varphi=k\pi+\frac{\pi}{4},k\in \mathbf{Z}$.
又因为 $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. 所以取 $k = 0$，得 $\varphi=\frac{\pi}{4}$.
[答案] $\frac{\pi}{4}$

跟踪训练 3. 已知函数$f(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4} + \varphi)$是奇函数，则$\varphi\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$时，$\varphi$的值为$-\frac{\pi}{4}$.

答案： 解析：因为 $f(x)$ 是奇函数，
所以 $\frac{\pi}{4}+\varphi=k\pi$，则 $\varphi=k\pi-\frac{\pi}{4}(k\in \mathbf{Z})$.
又因为 $\varphi\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，
所以 $k = 0$ 时，$\varphi=-\frac{\pi}{4}$ 符合条件.
答案：$-\frac{\pi}{4}$

[例4] 定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$既是偶函数，又是周期函数. 若$f(x)$的最小正周期为$\pi$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2})$时，$f(x)=\sin x$，则$f(\frac{5\pi}{3})$等于 (D)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： D [解析] $f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=f\left(\frac{5\pi}{3}-\pi\right)=f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=f\left(\frac{2\pi}{3}-\pi\right)=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

变式训练 在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则$f(\frac{5\pi}{3})$的值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 变式训练
解析：$f\left(\frac{5\pi}{3}\right)=f\left(\frac{5\pi}{3}-\pi\right)=f\left(\frac{2\pi}{3}\right)=f\left(\frac{2\pi}{3}-\pi\right)=f\left(-\frac{\pi}{3}\right)$
$=-f\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
答案：$-\frac{\sqrt{3}}{2}$