《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例4] 若$\alpha$ 是第一象限角,则$\frac{\alpha}{2}$ 是 (B)

A.第一象限角
B.第一或第三象限角
C.第二象限角
D.第二或第四象限角

答案： 例4 B [解析] 因为$\alpha$是第一象限角，
所以$k · 360^{\circ}＜\alpha＜k · 360^{\circ}+90^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，
所以$k · 180^{\circ}＜\frac{\alpha}{2}＜k · 180^{\circ}+45^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，
所以$\frac{\alpha}{2}$是第一或第三象限角.

[例5] 已知角$\alpha$ 的终边在图中阴影部分内,试指出角$\alpha$ 的取值范围.

答案： 例5 [解] 终边在$30^{\circ}$角的终边所在直线上的角的集合为$S_1=\{\alpha|\alpha=30^{\circ}+k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，终边在$180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$角的终边所在直线上的角的集合为$S_2=\{\alpha|\alpha=105^{\circ}+k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$，因此，终边在图中阴影部分内的角$\alpha$的取值范围为$\{\alpha|30^{\circ}+k · 180^{\circ} \leq \alpha＜105^{\circ}+k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}\}$.

▶变式训练 若[例4]条件不变,判断$\frac{\alpha}{3}$ 所在象限.

答案： 变式训练
解：$\because k · 360^{\circ}＜\alpha＜k · 360^{\circ}+90^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，
$\therefore k · 120^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜k · 120^{\circ}+30^{\circ},k \in \mathbf{Z}$.
如$k=0,3,·s,0^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜30^{\circ}$，
如$k=1,4,·s,120^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜150^{\circ}$，
故$k=2,5,·s,240^{\circ}＜\frac{\alpha}{3}＜270^{\circ}$，
故$\frac{\alpha}{3}$在第一象限、第二象限、第三象限.

1.$-410^{\circ}$ 是 (D)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 随堂测评·自我突破
1 D 解析：根据题意，$-410^{\circ}=-720^{\circ}+310^{\circ}$，则$-410^{\circ}$和$310^{\circ}$是终边相同的角，是第四象限角.

2.若角$2\alpha$ 与$240^{\circ}$ 角的终边相同,则角$\alpha$ 可以表示为 (B)

A.$120^{\circ}+k· 360^{\circ},k\in \mathbf{Z}$
B.$120^{\circ}+k· 180^{\circ},k\in \mathbf{Z}$
C.$240^{\circ}+k· 360^{\circ},k\in \mathbf{Z}$
D.$240^{\circ}+k· 180^{\circ},k\in \mathbf{Z}$

答案： 2 B 解析：因为角$2\alpha$与$240^{\circ}$角的终边相同，
所以$2\alpha=240^{\circ}+k · 360^{\circ},k \in \mathbf{Z}$，
所以$\alpha=120^{\circ}+k · 180^{\circ},k \in \mathbf{Z}$.

3.“$\alpha$ 是锐角”是“$\alpha$ 是第一象限角”的 (A)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3 A 解析：$\alpha$是锐角能推出$\alpha$是第一象限角，但是反之不成立，例如$400^{\circ}$角是第一象限角，但不是锐角，所以“$\alpha$是锐角”是“$\alpha$是第一象限角”的充分不必要条件.

4.如图(1),$\angle AOC=$$110^{\circ}$ ;如图(2),$\angle AOC=$$-70^{\circ}$.

答案： 4 $110^{\circ} -70^{\circ}$