《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2. (多选)若函数 $f(x) = (\frac{1}{2}a - 3) · a^x (a ＞ 0$，且 $a ≠ 1)$ 是指数函数，则下列说法正确的是 (AC)

A.$a = 8$
B.$f(0) = -3$
C.$f(\frac{1}{2}) = 2\sqrt{2}$
D.$a = 4$

答案： AC 解析：因为函数$f(x)$是指数函数，
所以$\frac{1}{2}a - 3 = 1$，所以$a = 8$，
所以$f(x)=8^x$，所以$f(0)=1$，$f(\frac{1}{2})=8^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}$，故B，D错误，A，C正确。

1. $y = ka^x + b (k ＞ 0, a ＞ 0$，且 $a ≠ 1)$，当$a＞1$时，为指数

增

长型函数模型.

答案： 1.$a＞1$

2. $y = ka^x + b (k ＞ 0, a ＞ 0$，且 $a ≠ 1)$，当$0＜a＜1$时，为指数衰减型函数模型.

答案： 2.$0＜a＜1$

[例3] 某种细菌经 $60$ 分钟培养，可繁殖为原来的 $2$ 倍，且知该细菌的繁殖规律为 $y = 10e^{kt}$，其中 $k$ 为常数，$t$ 表示时间(单位:小时)，$y$ 表示细菌个数，$10$ 个细菌经过 $7$ 小时培养，细菌能达到的个数为 (B)

A.$640$
B.$1 280$
C.$2 560$
D.$5 120$

答案： B [解析] 设原来的细菌数为$a$，
由题意可得，在函数$y = 10e^{kt}$中，当$t = 1$时，$y = 2a$，
所以$2a = 10e^k$，即$e^k=\frac{a}{5}$。
当$a = 10$时，$e^k = 2$，$y = 10e^{kt}=10·2^t$。
若$t = 7$，则可得此时的细菌数为$y = 10×2^7 = 1280$，
所以B选项是正确的。

跟踪训练 3. 某商品价格 $y$(单位:元)因上架时间 $x$(单位:天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即 $y = k · a^x (a ＞ 0$，且 $a ≠ 1, x ∈ \mathbf{N}^*)$. 当商品上架第 $1$ 天的价格为 $96$ 元，而上架第 $3$ 天的价格为 $54$ 元时，该商品上架第 $4$ 天的价格为$\frac{81}{2}$元.

答案： 解析：由题意可知$\begin{cases}ka = 96,\\ka^3 = 54,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{3}{4},\\k = 128,\end{cases}$
所以当$x = 4$时，$y = k· a^4=\frac{81}{2}$。
答案 $\frac{81}{2}$

1. 下列函数一定是指数函数的是 (D)

A.$y = 2^{x+1}$
B.$y = x^3$
C.$y = 3 · 2^x$
D.$y = 3^{-x}$

答案： 1.D

2. 若函数 $y = (m^2 - m - 1) · m^x$ 是指数函数，则 $m$ 等于 (C)

A.$-1$ 或 $2$
B.$-1$
C.$2$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 2.C 解析：依题意，有$\begin{cases}m^2 - m - 1 = 1,\\m＞0, 且m\neq1,\end{cases}$
解得$m = 2(m = -1$舍去)。

3. 若指数函数 $f(x)$ 的图象过点 $(3,8)$，则 $f(x)$ 的解析式为 (B)

A.$f(x) = x^3$
B.$f(x) = 2^x$
C.$f(x) = (\frac{1}{2})^x$
D.$f(x) = x^{\frac{1}{3}}$

答案： 3.B 解析：设$f(x)=a^x(a＞0$，且$a\neq1)$，则由$f(3)=8$，得$a^3 = 8$，
$\therefore a = 2$，$\therefore f(x)=2^x$。

4. 碳 $14$ 的半衰期为 $5 730$ 年，那么碳 $14$ 的年衰变率为$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$.

答案： 4.解析：设原物质的量为1，则经过一年后该物质剩余量为$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$，即碳14的年衰变率为$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$
答案 $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$