《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

一、全称量词命题的否定
【知识梳理】
1.全称量词命题：$\forall x \in M,p(x)$，它的否定：$\exists x \in M,\neg p(x)$.也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
2.常见词语的否定形式

答案： 一、1.$\exists x \in M,\neg p(x)$存在量词命题

[例1] 写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)$ \forall a \in \mathbf{R}$，方程$x^{2} + ax + 2 = 0$有实数根；
(3)$ \forall a,b \in \mathbf{R}$，方程$ax = b$都有唯一解；
(4)可以被$5$整除的整数，末位是$0$.

答案： 例1[解]
(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
(2)$\exists a \in \mathbf{R}$，方程$x^{2}+ax + 2 = 0$没有实数根.
(3)$\exists a,b \in \mathbf{R}$，使方程$ax = b$的解不唯一或不存在.
(4)存在被5整除的整数，末位不是0.

▏跟踪训练 1.写出下列命题的否定：
(1)$\forall n \in \mathbf{Z},n \in \mathbf{Q}$；
(2)任意奇数的平方还是奇数；
(3)每个平行四边形都是中心对称图形.

答案： 跟踪训练
1.解：
(1)$\exists n \in \mathbf{Z},n \notin \mathbf{Q}$.
(2)存在一个奇数的平方不是奇数.
(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形.

二、存在量词命题的否定
【知识梳理】
存在量词命题：$\exists x \in M,p(x)$，它的否定：$\forall x \in M,\neg p(x)$.也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.

答案： 二、$\forall x \in M,\neg p(x)$全称量词命题

[例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)某些梯形的对角线互相平分；
(2)存在$k \in \mathbf{R}$，函数$y = kx + b$随$x$值的增大而减小；
(3)$\exists x,y \in \mathbf{Z}$，使得$\sqrt{2}x + y = 3$.

答案： 例2[解]
(1)该命题的否定:任意一个梯形的对角线都不互相平分.
命题的否定为真命题.
(2)该命题的否定:对任意$k \in \mathbf{R}$，函数$y = kx + b$不随$x$值的增大而减
小.命题的否定为假命题.
(3)该命题的否定:$\forall x,y \in \mathbf{Z},\sqrt{2}x + y \neq 3$.
当$x = 0,y = 3$时，$\sqrt{2}x + y = 3$，因此命题的否定是假命题.