《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

[例 1] 函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，当$x＞0$时，$f(x)= -x + 1$，求$f(x)$的解析式.

答案： [解] 设$x＜0$，则$-x＞0$，
$\therefore f(-x)=-(-x)+1=x+1$.
又$\because$函数$f(x)$是定义域为$\mathbf{R}$的奇函数，
$\therefore f(-x)=-f(x)=x+1$，$\therefore$当$x＜0$时，$f(x)=-x-1$.
又$x=0$时，$f(0)=0$，
$\therefore f(x)=\begin{cases}-x-1,x＜0,\\0,x=0,\\-x+1,x＞0.\end{cases}$

跟踪训练 1. 若$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，当$x ＞ 0$时，$f(x)=x^{2}-2x + 3$，求$f(x)$的解析式.

答案： 解：当$x=0$时，$f(0)=0$.
当$x＜0$时，$-x＞0$，
$f(-x)=(-x)^{2}-2(-x)+3=x^{2}+2x+3$.
由于$f(x)$是奇函数，故$f(x)=-f(-x)$，
所以$f(x)=-x^{2}-2x-3$，
即当$x＜0$时，$f(x)=-x^{2}-2x-3$.
故$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x+3,x＞0,\\0,x=0,\\-x^{2}-2x-3,x＜0.\end{cases}$

[例 2] 设$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，且$f(x)+g(x)=\frac{1}{x - 1}$，求函数$f(x)$，$g(x)$的解析式.

答案： [解] $\because f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，
$\therefore f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$，
由$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，①
用$-x$代替$x$，
得$f(-x)+g(-x)=\frac{1}{-x-1}$，
$\therefore f(x)-g(x)=\frac{1}{-x-1}$，②
①+②得$2f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，
$\therefore f(x)=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$.
①-②得$2g(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$，
$\therefore g(x)=\frac{x}{(x-1)(x+1)}$.

跟踪训练 2. 设$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，且$f(x)+g(x)=2x + x^{2}$，求函数$f(x)$，$g(x)$的解析式.

答案： 解：因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，
所以$f(-x)=f(x)$，$g(-x)=-g(x)$，
由$f(x)+g(x)=2x+x^{2}$，①
用$-x$代替$x$得$f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)^{2}$，
所以$f(x)-g(x)=-2x+x^{2}$，②
(①+②)$÷2$，得$f(x)=x^{2}$.
(①-②)$÷2$，得$g(x)=2x$.