《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 1. 已知函数$f(x) = \begin{cases}x^2 & -1 \leq x \leq 1, \frac{1}{x} & x ＞ 1,\end{cases}$求$f(x)$的最大值、最小值.

答案：
解:作出函数$f(x)$的图象，如图所示
由图象可知，当$x=±1$时，$f(x)$取最大值$1$，

当$x=0$时，$f(x)$取最小值$0$，
故$f(x)$的最大值为$1$，最小值为$0$.

[例2] 已知函数$f(x) = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
(1)用定义证明$f(x)$在区间$[1, +\infty)$上单调递增；
(2)求该函数在区间$[2,4]$上的最大值与最小值.

答案：
(1)[证明]　$\forall x_1,x_2\in[1,+\infty)$，且$x_1＜x_2$，
则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2x_1 + 1}{x_1 + 1}-\frac{2x_2 + 1}{x_2 + 1}=\frac{x_1 - x_2}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)}$.
$\because1\leq x_1＜x_2$，$\therefore x_1 - x_2＜0$，$(x_1 + 1)(x_2 + 1)＞0$，
$\therefore f(x_1)-f(x_2)＜0$，即$f(x_1)＜f(x_2)$，
故函数$f(x)$在区间$[1,+\infty)$上单调递增.
(2)[解]　由
(1)知函数$f(x)$在区间$[2,4]$上单调递增，
$\therefore f(x)_{\max}=f(4)=\frac{2×4 + 1}{4 + 1}=\frac{9}{5}$，
$f(x)_{\min}=f(2)=\frac{2×2 + 1}{2 + 1}=\frac{5}{3}$.

跟踪训练 2. 已知函数$f(x) = \frac{3}{2x - 1}$.
(1)求证：$f(x)$在$(\frac{1}{2}, +\infty)$上单调递减；
(2)求$f(x)$在$[1,5]$上的最大值及最小值.

答案：
(1)证明:设$x_1,x_2$是区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上的任意两个实数，且$x_2＞x_1＞\frac{1}{2}$，则$f(x_1)-f(x_2)=\frac{3}{2x_1 - 1}-\frac{3}{2x_2 - 1}=\frac{6(x_2 - x_1)}{(2x_1 - 1)(2x_2 - 1)}$.
由于$x_2＞x_1＞\frac{1}{2}$，
所以$x_2 - x_1＞0$，且$(2x_1 - 1)·(2x_2 - 1)＞0$，
所以$f(x_1)-f(x_2)＞0$，即$f(x_1)＞f(x_2)$，
所以函数$f(x)=\frac{3}{2x - 1}$在区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递减.
(2)解:由
(1)知，函数$f(x)$在$[1,5]$上单调递减，
因此，函数$f(x)=\frac{3}{2x - 1}$在区间$[1,5]$的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为$f(1)=3$，最小值为$f(5)=\frac{1}{3}$.

[例3] 已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x + 3$.
(1)当$x \in [-2,0]$时，求$f(x)$的最值；
(2)当$x \in [-2,3]$时，求$f(x)$的最值；
(3)当$x \in [t, t + 1]$时，求$f(x)$的最小值$g(t)$.

答案： [解]　$f(x)=x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2 + 2$，其对称轴为$x=1$，开口向上.
(1)当$x\in[-2,0]$时，$f(x)$在$[-2,0]$上是减函数，故当$x=-2$时，$f(x)$有最大值$f(-2)=11$；
当$x=0$时，$f(x)$有最小值$f(0)=3$.
(2)当$x\in[-2,3]$时，$f(x)$在$[-2,3]$上先递减后递增，故当$x=1$时，$f(x)$有最小值$f(1)=2$.又$\vert -2 - 1\vert＞\vert3 - 1\vert$，
所以$f(x)$的最大值为$f(-2)=11$.
(3)①当$t＞1$时，$f(x)$在$[t,t + 1]$上是增函数，所以当$x=t$时，$f(x)$取得最小值，此时$g(t)=f(t)=t^2 - 2t + 3$.
②当$t\leq1\leq t + 1$，即$0\leq t\leq1$时，
$f(x)$在$[t,t + 1]$上先递减后递增，
故当$x=1$时，$f(x)$取得最小值，此时$g(t)=f(1)=2$.
③当$t + 1＜1$，即$t＜0$时，$f(x)$在$[t,t + 1]$上是减函数，
所以当$x=t + 1$时，$f(x)$取得最小值，
此时$g(t)=f(t + 1)=t^2 + 2$.
综上，$g(t)=\begin{cases}t^2 - 2t + 3,t＞1\\2,0\leq t\leq1\\t^2 + 2,t＜0\end{cases}$