《2025年创新思维同步导学案高中数学必修第一册人教版》

跟踪训练 2. (1)函数$y=a^{|x|}(a＞1)$的图象是 (B)

(2)函数$f(x)=2a^{x+1}-3(a＞0$，且$a≠1)$的图象恒过的定点是(−1,−1).

答案： 跟踪训练
2.解析:
(1)当x＞0时,y=a^x是指数函数的右半部分$,y=a^{|x|}$关于y轴对称.
(2)因为y=a^x的图象过定点(0,1),
所以令x+1=0,
即x=−1,则f(−1)=−1,
故$f(x)=2a^{x + 1}−3$的图象恒过定点(−1,−1).
答案:
(1)B
(2)(−1,−1)

[例3] 求下列函数的定义域、值域.
(1)$y=\frac{3^x}{1+3^x}$；
(2)$y=2^{\frac{1}{x-1}}$；
(3)$y=\sqrt{1-3^x}$；
(4)$y=(\frac{1}{2})^{x^2-2x-3}$.

答案： 例3　[解]　
(1)函数的定义域为R.
∵$y= \frac{3^x}{1+3^x}=\frac{(1+3^x)-1}{1+3^x}=1-\frac{1}{1+3^x} ，$
又3^x＞0,
∴1+3^x＞1,
∴0＜\frac{1}{1+3^x}＜1,
∴-1＜-\frac{1}{1+3^x}＜0,
∴0＜1-\frac{1}{1+3^x}＜1,
∴函数的值域为(0,1).
(2)由x−1≠0,得x≠1,
∴函数的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞),
∴$\frac{1}{x - 1}≠0,2^{\frac{1}{x - 1}}≠1,$
∴函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(3)要使函数有意义,
则1−3^x≥0,即$3^x≤1=3^0.$
∵函数y=3^x在R上是增函数,
∴x≤0,
故函数$y=\sqrt{1 - 3^x}$的定义域为(−∞,0].
∵x≤0,所以0＜3^x≤1,
∴0≤1−3^x＜1,
故函数$y=\sqrt{1 - 3^x}$的值域为[0,1).
(4)由题意得,函数的定义域为R.
∵$x^2−2x−3=(x−1)^2−4≥−4,$
∴$(\frac{1}{2})^{x^2 - 2x - 3}≤(\frac{1}{2})^{-4}=16.$
又
∵$(\frac{1}{2})^{x^2 - 2x - 3}＞0,$
∴函数的值域为(0,16].

跟踪训练 3. (1)函数$y=3^{2x+1}$的定义域为R，值域为(0,+∞).

答案： 跟踪训练
3.解析:
(1)函数的定义域为R.
∵x∈R,
∴2x+1∈R,
∴函数$y=3^{2x + 1}$的值域为(0,+∞).

(2)函数$y=(\frac{1}{2})^{x^2-2x}$的值域为(0,2].

答案：
(2)函数的定义域为$R,x^2−2x=(x−1)^2−1≥−1,$
∴$(\frac{1}{2})^{x^2 - 2x}≤(\frac{1}{2})^{-1}=2.$
又
∵$(\frac{1}{2})^{x^2 - 2x}＞0,$
∴函数的值域为(0,2].

(3)函数$y=(\frac{1}{4})^x+(\frac{1}{2})^x+1$的值域为(1,+∞).

答案：
(3)令$t=(\frac{1}{2})^x＞0,$则$y=t^2+t+1=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$在(0,+∞)上单调递增,
∴值域为(1,+∞).

1. 函数$y=\sqrt{2^x-1}$的定义域是 (C)

A.$(-\infty,0)$
B.$(-\infty,0]$
C.$[0,+\infty)$
D.$(0,+\infty)$

答案： 1.C解析:令2^x−1≥0,即2^x≥1.由图象(图略)可知x≥0.

2. 函数$f(x)=\pi^x$与$g(x)=(\frac{1}{\pi})^x$的图象关于 (C)

A.原点对称
B.$x$轴对称
C.$y$轴对称
D.直线$y=-x$对称

答案： 2.C解析:设点(x,y)为函数f(x)=π^x的图象上任意一点，则点(−x,y)为$g(x)=π^{-x}=(\frac{1}{π})^x$的图象上的点.因为点(x,y)与点(−x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=π^x与$g(x)=(\frac{1}{π})^x$的图象关于y轴对称.

3. 要使$g(x)=3^{x+1}+t$的图象不经过第二象限，则$t$的取值范围为 (C)

A.$t\leq -1$
B.$t＜ -1$
C.$t\leq -3$
D.$t\geq -3$

答案： 3.C解析:
∵函数$g(x)=3^{x + 1}+t$的图象过定点(0,3+t),且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0,解得t≤−3.

4. 函数$y=0.7^{\frac{1}{x^2-1}}$的定义域为{x｜x≠±1}.

答案： 4.{x｜x≠±1}